In mathematics, a semigroup with no elements (the empty semigroup) is a semigroup in which the underlying set is the empty set. Many authors do not admit the existence of such a semigroup. For them a semigroup is by definition a non-empty set together with an associative binary operation. However not all authors insist on the underlying set of a semigroup being non-empty. One can logically define a semigroup in which the underlying set S is empty. The binary operation in the semigroup is the empty function from S × S to S. This operation vacuously satisfies the closure and associativity axioms of a semigroup. Not excluding the empty semigroup simplifies certain results on semigroups. For example, the result that the intersection of two subsemigroups of a semigroup T is a subsemigroup of T
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| - Empty semigroup (en)
- Semigrupo vazio (pt)
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| - In mathematics, a semigroup with no elements (the empty semigroup) is a semigroup in which the underlying set is the empty set. Many authors do not admit the existence of such a semigroup. For them a semigroup is by definition a non-empty set together with an associative binary operation. However not all authors insist on the underlying set of a semigroup being non-empty. One can logically define a semigroup in which the underlying set S is empty. The binary operation in the semigroup is the empty function from S × S to S. This operation vacuously satisfies the closure and associativity axioms of a semigroup. Not excluding the empty semigroup simplifies certain results on semigroups. For example, the result that the intersection of two subsemigroups of a semigroup T is a subsemigroup of T (en)
- Em matemática, um semigrupo sem elementos (o semigrupo vazio) é um semigrupo em que o é o conjunto vazio. Muitos autores não admitem a existência de tal semigrupo. Para eles um semigrupo é, por definição, um conjunto não-vazio juntamente com uma operação binária associativa. No entanto, nem todos os autores insistem sobre o conjunto subjacente de um semigrupo ser não vazio. Logicamente, pode-se definir um semigrupo em que o conjunto subjacente S é vazio. A operação binária no semigrupo é a de S × S em S. Esta operação satisfaz por vacuidade os axiomas de fechamento e de associatividade de um semigrupo. Não excluir o semigrupo vazio simplifica certos resultados sobre semigrupos. Por exemplo, o resultado segundo o qual a interseção de dois subsemigrupos de um semigrupo T é um subsemigrupo (pt)
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| - In mathematics, a semigroup with no elements (the empty semigroup) is a semigroup in which the underlying set is the empty set. Many authors do not admit the existence of such a semigroup. For them a semigroup is by definition a non-empty set together with an associative binary operation. However not all authors insist on the underlying set of a semigroup being non-empty. One can logically define a semigroup in which the underlying set S is empty. The binary operation in the semigroup is the empty function from S × S to S. This operation vacuously satisfies the closure and associativity axioms of a semigroup. Not excluding the empty semigroup simplifies certain results on semigroups. For example, the result that the intersection of two subsemigroups of a semigroup T is a subsemigroup of T becomes valid even when the intersection is empty. When a semigroup is defined to have additional structure, the issue may not arise. For example, the definition of a monoid requires an identity element, which rules out the empty semigroup as a monoid. In category theory, the empty semigroup is always admitted. It is the unique initial object of the category of semigroups. A semigroup with no elements is an inverse semigroup, since the necessary condition is vacuously satisfied. (en)
- Em matemática, um semigrupo sem elementos (o semigrupo vazio) é um semigrupo em que o é o conjunto vazio. Muitos autores não admitem a existência de tal semigrupo. Para eles um semigrupo é, por definição, um conjunto não-vazio juntamente com uma operação binária associativa. No entanto, nem todos os autores insistem sobre o conjunto subjacente de um semigrupo ser não vazio. Logicamente, pode-se definir um semigrupo em que o conjunto subjacente S é vazio. A operação binária no semigrupo é a de S × S em S. Esta operação satisfaz por vacuidade os axiomas de fechamento e de associatividade de um semigrupo. Não excluir o semigrupo vazio simplifica certos resultados sobre semigrupos. Por exemplo, o resultado segundo o qual a interseção de dois subsemigrupos de um semigrupo T é um subsemigrupo de T torna-se válido mesmo no caso em que a intersecção é vazia. Quando um semigrupo é definido como tendo estrutura adicional, o problema pode não surgir. Por exemplo, a definição de um monoide requer a existência de um elemento de identidade, o que exclui a possibilidade de o semigrupo vazio ser um monoide. Na teoria de categorias, o semigrupo vazio sempre é permitido. Ele é o único objeto inicial da categoria de semigrupos. Um semigrupo com nenhum elemento é um semigrupo inverso, uma vez que a condição necessária é satisfeita por vacuidade. (pt)
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