The Kempner series is a modification of the harmonic series, formed by omitting all terms whose denominator expressed in base 10 contains the digit 9. That is, it is the sum where the prime indicates that n takes only values whose decimal expansion has no nines. The series was first studied by A. J. Kempner in 1914. The series is counterintuitive because, unlike the harmonic series, it converges. Kempner showed the sum of this series is less than 90. Baillie showed that, rounded to 20 decimals, the actual sum is 22.92067661926415034816(sequence in the OEIS).
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| - Kempner-Reihe (de)
- Serie de Kempner (es)
- Série de Kempner (fr)
- Kempner series (en)
- Serie di Kempner (it)
- Kempnerreeks (nl)
- 肯普納級數 (zh)
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| rdfs:comment
| - 肯普納級數（英語：Kempner series）是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成 其中「缺9」意思是「十進制表示中，不含數字9」，下同。於1914年最早研究該級數。肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得，但肯普納級數收斂，調和級數則發散。肯普納證明，級數之和小於90。羅伯特·貝利證明，級數準確到小數點後20位的值為22.92067661926415034816（OEIS數列）。 直觀理解，級數收斂是因為大部分「大數」都有齊0至9的全部數字。例如，均勻隨機選一個100位的正整數，很易包含至少一個數字9，於是級數不計該數的倒數。 施梅爾策與貝利找到高效算法，給定任意數字串為輸入，計算缺該串的正整數倒數和。此問題推廣了原本的級數求值問題。舉例，考慮所有缺數字串「42」的正整數，其倒數和約為228.44630415923081325415。又舉例，缺數字串「314159」的正整數倒數和約為2302582.33386378260789202376。（上述數值皆四捨五入至末位。） (zh)
- In der Mathematik bezeichnen die zehn Kempner-Reihen, benannt nach Aubrey J. Kempner, diejenigen Reihen, die dadurch entstehen, dass man aus der harmonischen Reihe alle Summanden entfernt, die eine bestimmte dezimale Ziffer in ihrem Nenner enthalten. Die Kempner-Reihen gehören daher zu den subharmonischen Reihen. Lässt man etwa alle Summanden weg, deren Nenner die Ziffer in seiner Dezimalschreibweise enthält, ergibt sich die Kempner-Reihe als Oder durch Auslassen der Summanden mit einer im Nenner: Sie wurden erstmals von Aubrey J. Kempner 1914 beschrieben. (de)
- The Kempner series is a modification of the harmonic series, formed by omitting all terms whose denominator expressed in base 10 contains the digit 9. That is, it is the sum where the prime indicates that n takes only values whose decimal expansion has no nines. The series was first studied by A. J. Kempner in 1914. The series is counterintuitive because, unlike the harmonic series, it converges. Kempner showed the sum of this series is less than 90. Baillie showed that, rounded to 20 decimals, the actual sum is 22.92067661926415034816(sequence in the OEIS). (en)
- La serie de Kempner es una modificación de la serie armónica, en la cual se omiten todos los términos cuyo denominador expresado en base 10 contiene al menos un dígito 9, es decir, es la serie donde la prima indica que toma solo valores cuya expresión en base decimal no contiene ningún 9. Esta serie fue estudiada por en 1914. Esta serie es interesante porque, al contrario que la serie armónica y contra-intuitivamente, es una serie convergente (Kempner demostró que su valor es menor que 80, y Baillie showed obtuvo su resultado con una precisión de 20 decimales. El resultado de la serie es 22.92067 66192 64150 34816(sucesión A082838 en OEIS)). (es)
- La série de Kempner est une série obtenue à partir de la série harmonique en excluant tous les termes dont le dénominateur, exprimé en base dix, contient le chiffre 9. La somme des termes de cette série s'écrit : où le prime dans signifie que n ne prend que les valeurs dont le développement décimal ne contient pas de 9. (fr)
- La serie di Kempner è una variante della serie armonica, costruita omettendo tutti i termini il cui denominatore contiene la cifra espressa in base decimale. Cioè, è la somma dove l'apice indica che assume solo i valori la cui espansione decimale non contiene dei . La serie fu per la prima volta studiata da A. J. Kempner nel 1914. La serie è interessante a causa del risultato controintuitivo che, a differenza della serie armonica, la serie di Kempner converge. Kempner mostrò che il valore di questa serie è minore di . Baillie dimostrò che, arrotondata alla 20ª cifra decimale, la somma reale è . (it)
- Een Kempnerreeks of reeks van Kempner ontstaat door in de harmonische reeks alle termen waarvan de noemer een bepaald cijfer bevat, te schrappen. Door bijvoorbeeld alle termen met in de noemer het cijfer 9, te schrappen, ontstaat de Kempnerreeks: Van de eerste honderd termen van de harmonische reeks werden dus verwijderd: tot en met . Deze reeks werd voor het eerst bestudeerd door A. J. Kempner in 1914. (nl)
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| - In der Mathematik bezeichnen die zehn Kempner-Reihen, benannt nach Aubrey J. Kempner, diejenigen Reihen, die dadurch entstehen, dass man aus der harmonischen Reihe alle Summanden entfernt, die eine bestimmte dezimale Ziffer in ihrem Nenner enthalten. Die Kempner-Reihen gehören daher zu den subharmonischen Reihen. Lässt man etwa alle Summanden weg, deren Nenner die Ziffer in seiner Dezimalschreibweise enthält, ergibt sich die Kempner-Reihe als Oder durch Auslassen der Summanden mit einer im Nenner: Sie wurden erstmals von Aubrey J. Kempner 1914 beschrieben. Das Interessante an diesen zehn Reihen ist, dass sie alle konvergieren, obwohl die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert. Dies wurde von Kempner bewiesen; daher werden die Reihen oft Kempner-Reihen genannt.Die Konvergenzeigenschaft wird auch dadurch deutlich, dass bereits ab 7-stelligen Zahlen diese mehrheitlich wegfallen und es bei großen Zahlen nur wenige gibt, die eine bestimmte Ziffer nicht enthalten und so einen Additionsbeitrag leisten können. (de)
- The Kempner series is a modification of the harmonic series, formed by omitting all terms whose denominator expressed in base 10 contains the digit 9. That is, it is the sum where the prime indicates that n takes only values whose decimal expansion has no nines. The series was first studied by A. J. Kempner in 1914. The series is counterintuitive because, unlike the harmonic series, it converges. Kempner showed the sum of this series is less than 90. Baillie showed that, rounded to 20 decimals, the actual sum is 22.92067661926415034816(sequence in the OEIS). Heuristically, this series converges because most large integers contain every digit. For example, a random 100-digit integer is very likely to contain at least one '9', causing it to be excluded from the above sum. Schmelzer and Baillie found an efficient algorithm for the more general problem of any omitted string of digits. For example, the sum of 1/n where n has no instances of "42" is about 228.44630415923081325415. Another example: the sum of 1/n where n has no occurrence of the digit string "314159" is about 2302582.33386378260789202376. (All values are rounded in the last decimal place.) (en)
- La serie de Kempner es una modificación de la serie armónica, en la cual se omiten todos los términos cuyo denominador expresado en base 10 contiene al menos un dígito 9, es decir, es la serie donde la prima indica que toma solo valores cuya expresión en base decimal no contiene ningún 9. Esta serie fue estudiada por en 1914. Esta serie es interesante porque, al contrario que la serie armónica y contra-intuitivamente, es una serie convergente (Kempner demostró que su valor es menor que 80, y Baillie showed obtuvo su resultado con una precisión de 20 decimales. El resultado de la serie es 22.92067 66192 64150 34816(sucesión A082838 en OEIS)). Schmelzer y Baillie obtuvieron un algoritmo eficiente para el problema más general de resolver series en las que se omitieran sumandos que contuvierancualquier cadena dada de dígitos. Por ejemplo, la suma de para los que no contengan la cadena "42" en su expresión decimal es 228.44630 41592 30813 25415. Otro ejemplo más complicado, en el que se calcula la suma de para los que no contengan la cadena "314159" es 2302582.33386 37826 07892 02376. (Todos los valores numéricos aquçí dados están redondeados en su última cifra decimal). (es)
- La serie di Kempner è una variante della serie armonica, costruita omettendo tutti i termini il cui denominatore contiene la cifra espressa in base decimale. Cioè, è la somma dove l'apice indica che assume solo i valori la cui espansione decimale non contiene dei . La serie fu per la prima volta studiata da A. J. Kempner nel 1914. La serie è interessante a causa del risultato controintuitivo che, a differenza della serie armonica, la serie di Kempner converge. Kempner mostrò che il valore di questa serie è minore di . Baillie dimostrò che, arrotondata alla 20ª cifra decimale, la somma reale è . Euristicamente, questa serie converge perché gli interi molto grandi hanno più probabilità di possedere qualunque cifra. Per esempio, è davvero molto probabile che un intero casuale di cifre contenga almeno un , causandone l'esclusione dalla precedente somma. Schmelzer e Baillie trovarono un algoritmo efficiente per il problema dell'omissione di stringhe di cifre. Per esempio, la somma di dove non contiene "42" è all'incirca . Un altro esempio: la somma di dove in non appare la stringa "314159" (le prime cifre del π) è approssimativamente . (it)
- La série de Kempner est une série obtenue à partir de la série harmonique en excluant tous les termes dont le dénominateur, exprimé en base dix, contient le chiffre 9. La somme des termes de cette série s'écrit : où le prime dans signifie que n ne prend que les valeurs dont le développement décimal ne contient pas de 9. Son intérêt réside dans le fait que contrairement à la série harmonique, elle converge. Ce résultat fut démontré en 1914 par (en). Mais il fallut attendre la fin des années 1970 pour qu'on en détermine une valeur approchée de la somme au moyen de méthodes astucieuses, en raison de sa très lente vitesse de convergence. (fr)
- Een Kempnerreeks of reeks van Kempner ontstaat door in de harmonische reeks alle termen waarvan de noemer een bepaald cijfer bevat, te schrappen. Door bijvoorbeeld alle termen met in de noemer het cijfer 9, te schrappen, ontstaat de Kempnerreeks: Van de eerste honderd termen van de harmonische reeks werden dus verwijderd: tot en met . Deze reeks werd voor het eerst bestudeerd door A. J. Kempner in 1914. De reeks is merkwaardig omdat ze, tegen de intuïtie ingaand, convergent is. Kempner bewees dat de som kleiner is dan 80, en Baillie toonde aan de som, wat de eerste 20 decimalen betreft, gelijk is aan 22,92067 66192 64150 34816. Schmelzer en Baillie vonden een efficiënt algoritme voor het meer algemene probleem, waarbij alle termen uit de harmonische reeks worden verwijderd die een bepaalde eindige string van cijfers bevatten. Bijvoorbeeld, indien alle noemers waarin de string "42" voorkomt worden verwijderd is de som afgerond 228,44630 41592 30813 25415. Indien de string "314159" wordt verwijderd is de som afgerond 2302582,33386 37826 07892 02376. (nl)
- 肯普納級數（英語：Kempner series）是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成 其中「缺9」意思是「十進制表示中，不含數字9」，下同。於1914年最早研究該級數。肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得，但肯普納級數收斂，調和級數則發散。肯普納證明，級數之和小於90。羅伯特·貝利證明，級數準確到小數點後20位的值為22.92067661926415034816（OEIS數列）。 直觀理解，級數收斂是因為大部分「大數」都有齊0至9的全部數字。例如，均勻隨機選一個100位的正整數，很易包含至少一個數字9，於是級數不計該數的倒數。 施梅爾策與貝利找到高效算法，給定任意數字串為輸入，計算缺該串的正整數倒數和。此問題推廣了原本的級數求值問題。舉例，考慮所有缺數字串「42」的正整數，其倒數和約為228.44630415923081325415。又舉例，缺數字串「314159」的正整數倒數和約為2302582.33386378260789202376。（上述數值皆四捨五入至末位。） (zh)
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