In mathematics, an Azumaya algebra is a generalization of central simple algebras to R-algebras where R need not be a field. Such a notion was introduced in a 1951 paper of Goro Azumaya, for the case where R is a commutative local ring. The notion was developed further in ring theory, and in algebraic geometry, where Alexander Grothendieck made it the basis for his geometric theory of the Brauer group in Bourbaki seminars from 1964–65. There are now several points of access to the basic definitions.
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| - Azumaya algebra (en)
- Algèbre d'Azumaya (fr)
- 아즈마야 대수 (ko)
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| - In mathematics, an Azumaya algebra is a generalization of central simple algebras to R-algebras where R need not be a field. Such a notion was introduced in a 1951 paper of Goro Azumaya, for the case where R is a commutative local ring. The notion was developed further in ring theory, and in algebraic geometry, where Alexander Grothendieck made it the basis for his geometric theory of the Brauer group in Bourbaki seminars from 1964–65. There are now several points of access to the basic definitions. (en)
- 환론과 대수적 수론과 대수기하학에서 아즈마야 대수([東屋]代數, 영어: Azumaya algebra)는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간인 올다발에 해당한다. 아즈마야 대수들의 동치류는 브라우어 군(Brauer群, 영어: Brauer group)이라는 군을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다. (ko)
- En mathématiques, la notion d'algèbre d'Azumaya est une généralisation de la notion d'algèbre centrale simple aux R-algèbres dont les scalaires R ne forment pas un corps. Elle a été introduite dans un article de (en) en 1951, dans le cas où R est un anneau local commutatif, puis a été développée par Alexander Grothendieck comme ingrédient de base à une théorie du groupe de Brauer en géométrie algébrique, dans les séminaires Bourbaki à partir de 1964. La loi de groupe est obtenue à partir du produit tensoriel, l'élément symétrique étant donné par l'algèbre opposée. (fr)
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| - In mathematics, an Azumaya algebra is a generalization of central simple algebras to R-algebras where R need not be a field. Such a notion was introduced in a 1951 paper of Goro Azumaya, for the case where R is a commutative local ring. The notion was developed further in ring theory, and in algebraic geometry, where Alexander Grothendieck made it the basis for his geometric theory of the Brauer group in Bourbaki seminars from 1964–65. There are now several points of access to the basic definitions. (en)
- En mathématiques, la notion d'algèbre d'Azumaya est une généralisation de la notion d'algèbre centrale simple aux R-algèbres dont les scalaires R ne forment pas un corps. Elle a été introduite dans un article de (en) en 1951, dans le cas où R est un anneau local commutatif, puis a été développée par Alexander Grothendieck comme ingrédient de base à une théorie du groupe de Brauer en géométrie algébrique, dans les séminaires Bourbaki à partir de 1964. Dans le cas où R est un anneau local, une algèbre d'Azumaya A est une R-algèbre libre et de rang fini r, telle que son produit tensoriel avec son algèbre opposée soit isomorphe à l'algèbre des matrices carrées de taille r sur R. Du point de vue de la théorie des schémas, Grothendieck la définit comme un faisceau A de OX-algèbres (où X est un schéma, et OX son faisceau structural) localement (pour la topologie étale) isomorphe à un faisceau d'algèbres de matrices. Milne prend en revanche la définition selon laquelle les germes Ax sont des algèbres d'Azumaya sur les anneaux locaux OX,x en tout point x. Le groupe de Brauer est alors défini comme l'ensemble des classes d'équivalence d'algèbres d'Azumaya selon la relation : deux algèbres A1 et A2 sont équivalentes s'il existe des (en) E1 et E2 tels que : La loi de groupe est obtenue à partir du produit tensoriel, l'élément symétrique étant donné par l'algèbre opposée. Cette notion a des applications en géométrie arithmétique, notamment grâce au travail de Yuri Manin sur les obstructions au principe de Hasse.
* (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Azumaya algebra » (voir la liste des auteurs).
* Portail de l’algèbre (fr)
- 환론과 대수적 수론과 대수기하학에서 아즈마야 대수([東屋]代數, 영어: Azumaya algebra)는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간인 올다발에 해당한다. 아즈마야 대수들의 동치류는 브라우어 군(Brauer群, 영어: Brauer group)이라는 군을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다. (ko)
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