In mathematics, Bäcklund transforms or Bäcklund transformations (named after the Swedish mathematician Albert Victor Bäcklund) relate partial differential equations and their solutions. They are an important tool in soliton theory and integrable systems. A Bäcklund transform is typically a system of first order partial differential equations relating two functions, and often depending on an additional parameter. It implies that the two functions separately satisfy partial differential equations, and each of the two functions is then said to be a Bäcklund transformation of the other.
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| - Bäcklund-Transformation (de)
- Bäcklund transform (en)
- Transformation de Bäcklund (fr)
- Высшая симметрия (ru)
- 贝克隆德变换 (zh)
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| - Bäcklund-Transformationen (im Englischen auch Baecklund oder Backlund geschrieben) sind Transformationen der abhängigen und unabhängigen Variablen in nichtlinearen Differentialgleichungen, die es ermöglichen, Lösungen einer Gleichung oder Lösungen verschiedener Gleichungen miteinander zu verbinden. Sie sind in der Theorie der Solitonen wichtig. (de)
- 贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系。 两个非线性偏微分方程 之间的贝克隆德变换，指的是这样一对关系 贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。 1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v 之间有如下关系： 这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。 将贝克隆德自变换第一式对t取微商，二式对x微商： 消除v即得； 消除u项即得 贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程、、的精确解： (zh)
- Вы́сшая симме́трия (обобщённая симметрия) — одно из фундаментальных понятий раздела математики — . (ru)
- In mathematics, Bäcklund transforms or Bäcklund transformations (named after the Swedish mathematician Albert Victor Bäcklund) relate partial differential equations and their solutions. They are an important tool in soliton theory and integrable systems. A Bäcklund transform is typically a system of first order partial differential equations relating two functions, and often depending on an additional parameter. It implies that the two functions separately satisfy partial differential equations, and each of the two functions is then said to be a Bäcklund transformation of the other. (en)
- Les transformations de Bäcklund (nommées ainsi en référence au mathématicien suédois Albert Victor Bäcklund) sont un outil mathématique relatif aux équations aux dérivées partielles et à leurs solutions. Elles sont importantes notamment dans l'étude des solitons et des systèmes intégrables. De façon succincte, une transformation de Bäcklund est un système d'équations différentielles partielles du premier ordre, reliant deux fonctions, et dépendant souvent d'un paramètre supplémentaire. Il s'ensuit que chacune de ces deux fonctions est solution d'équations aux dérivées partielles ; chacune de ces fonctions est appelée transformation de Bäcklund de l'autre. (fr)
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| - In mathematics, Bäcklund transforms or Bäcklund transformations (named after the Swedish mathematician Albert Victor Bäcklund) relate partial differential equations and their solutions. They are an important tool in soliton theory and integrable systems. A Bäcklund transform is typically a system of first order partial differential equations relating two functions, and often depending on an additional parameter. It implies that the two functions separately satisfy partial differential equations, and each of the two functions is then said to be a Bäcklund transformation of the other. A Bäcklund transform which relates solutions of the same equation is called an invariant Bäcklund transform or auto-Bäcklund transform. If such a transform can be found, much can be deduced about the solutions of the equation especially if the Bäcklund transform contains a parameter. However, no systematic way of finding Bäcklund transforms is known. (en)
- Bäcklund-Transformationen (im Englischen auch Baecklund oder Backlund geschrieben) sind Transformationen der abhängigen und unabhängigen Variablen in nichtlinearen Differentialgleichungen, die es ermöglichen, Lösungen einer Gleichung oder Lösungen verschiedener Gleichungen miteinander zu verbinden. Sie sind in der Theorie der Solitonen wichtig. (de)
- Les transformations de Bäcklund (nommées ainsi en référence au mathématicien suédois Albert Victor Bäcklund) sont un outil mathématique relatif aux équations aux dérivées partielles et à leurs solutions. Elles sont importantes notamment dans l'étude des solitons et des systèmes intégrables. De façon succincte, une transformation de Bäcklund est un système d'équations différentielles partielles du premier ordre, reliant deux fonctions, et dépendant souvent d'un paramètre supplémentaire. Il s'ensuit que chacune de ces deux fonctions est solution d'équations aux dérivées partielles ; chacune de ces fonctions est appelée transformation de Bäcklund de l'autre. Une transformation de Bäcklund peut faire intervenir deux solutions de la même équation ; auquel cas on parle de transformation de Bäcklund invariante. Grâce à une telle transformation (et en particulier, si elle dépend d'un paramètre), il est possible de déduire certaines propriétés des solutions de l'équation ; cependant, aucun moyen systématique n'est connu pour trouver des transformations de Bäcklund. (fr)
- 贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系。 两个非线性偏微分方程 之间的贝克隆德变换，指的是这样一对关系 贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。 1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v 之间有如下关系： 这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。 将贝克隆德自变换第一式对t取微商，二式对x微商： 消除v即得； 消除u项即得 贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程、、的精确解： (zh)
- Вы́сшая симме́трия (обобщённая симметрия) — одно из фундаментальных понятий раздела математики — . (ru)
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