In mathematics, especially functional analysis, Bessel's inequality is a statement about the coefficients of an element in a Hilbert space with respect to an orthonormal sequence. The inequality was derived by F.W. Bessel in 1828. Let be a Hilbert space, and suppose that is an orthonormal sequence in . Then, for any in one has where ⟨·,·⟩ denotes the inner product in the Hilbert space . If we define the infinite sum Bessel's inequality follows from the identity which holds for any natural n.
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| - Desigualtat de Bessel (ca)
- Besselsche Ungleichung (de)
- Neegalaĵo de Bessel (eo)
- Bessel's inequality (en)
- Desigualdad de Bessel (es)
- Disuguaglianza di Bessel (it)
- Inégalité de Bessel (fr)
- 베셀 부등식 (ko)
- Ongelijkheid van Bessel (nl)
- ベッセルの不等式 (ja)
- Неравенство Бесселя (ru)
- Bessels olikhet (sv)
- 贝塞尔不等式 (zh)
- Нерівність Бесселя (uk)
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| rdfs:comment
| - Die besselsche Ungleichung beschreibt in der Funktionalanalysis den Sachverhalt, dass ein Vektor eines Hilbertraums mindestens so „lang“ wie seine Orthogonalprojektion auf einen beliebigen Untervektorraum ist. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel benannt, der sie im Jahr 1828 für den Spezialfall der Fourierreihe bewies. (de)
- En matematiko, aparte en , neegalaĵo de Bessel estas frazo pri koeficientoj de ero x en hilberta spaco respektive al vico. Estu H hilberta spaco, kaj estu ortnormala vico en H. Tiam, por ĉiu x en H: kie <∙,∙> signifas la en H. Se difini la malfinian sumon do la neegalaĵo de Bessel diras ke ĉi tiu serio konverĝas. Por plena ortnormala vico (tio estas, por ortnormala vico kiu estas ), estas , kiu anstataŭigas la neegalaĵon per egaleco (kaj sekve x' per x). Neegalaĵo de Bessel sekvas el idento: kiu veras por ĉiu n≥1. (eo)
- En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de Bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal. (es)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel. (fr)
- 함수해석학에서, 베셀 부등식(Bessel不等式, 영어: Bessel’s inequality)은 내적 공간 속의 벡터의 정규 직교 수열에 대한 계수가 만족시키는 부등식이다. (ko)
- 数学の、特に函数解析学の分野におけるベッセルの不等式（ベッセルのふとうしき、英: Bessel's inequality）は、正規直交列についてのヒルベルト空間のある元 の係数に関する不等式である・ をヒルベルト空間とし、 を 内の正規直交列とする。このとき、 内の任意の に対し が成立する。ここで 〈•,•〉 はヒルベルト空間 の内積を表す。 方向のベクトル の無限和 を定義すると、ベッセルの不等式よりこの級数は収束する。基底 によって表現される が存在するものと考えることが出来る。 完全正規直交列（すなわち、基底であるような正規直交列）に対しては、不等号が等号に置き換えられたパーセヴァルの等式が成り立つ（したがって は となる）。 ベッセルの不等式は、任意の自然数 n に対して成り立つ次の関係式より従う： (ja)
- Bessels olikhet (efter Friedrich Wilhelm Bessel) är inom matematik, speciellt funktionalanalys, en olikhet som beskriver hur element i inre produktrum förehåller sig till . Om är ett inre produktrum och en ortonormal följd i , så gäller det att för alla i att: där är den inre produkten. Bessels olikhet ger att summan konvergerar. (sv)
- В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности. (ru)
- В математиці, нерівність Бесселя — твердження про коефіцієнти елемента у гільбертовому просторі стосовно ортонормованої послідовності. Нехай — гільбертів простір, і — ортонормована послідовність елементів . Тоді для довільного виконується нерівність: де <∙,∙> позначає скалярний добуток у просторі . Нерівність Бесселя випливає з наступної рівності: що виконується для довільного . (uk)
- 在数学里的泛函分析中，贝塞尔不等式（英語：Bassel's inequality）是类似于勾股定理的一种不等式。贝塞尔不等式揭示了希尔伯特空间中的一个元素和它在一个正交序列上的投影之间的关系。举例来说，平面上的一个向量的长度的平方等于它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和，而对于一个三维空间上的向量，它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和一般会小于它自身的长度的平方，除非它就在这两个坐标轴构成的平面上。对于一个希尔伯特空间中的向量来说，它在任意一个正交序列上的投影的平方和也是小于等于它自身的长度的平方。这就是贝塞尔不等式。贝塞尔不等式的等号成立当且仅当正交序列是完全序列。这时贝塞尔不等式转化为帕塞瓦尔定理。 (zh)
- En matemàtiques, especialment en anàlisi funcional, la desigualtat de Bessel és una proposició sobre els coeficients d'un element en un espai de Hilbert respecte a una successió ortonormal. Sigui un espai de Hilbert, i suposi's que és una seqüència ortonormal en . Llavors, per a tot de es compleix que on <·, ·> denota el producte interior en l'espai de Hilbert . Si es defineix la suma infinita la desigualtat de Bessel ens diu que aquesta sèrie matemàtica convergeix. . (ca)
- In mathematics, especially functional analysis, Bessel's inequality is a statement about the coefficients of an element in a Hilbert space with respect to an orthonormal sequence. The inequality was derived by F.W. Bessel in 1828. Let be a Hilbert space, and suppose that is an orthonormal sequence in . Then, for any in one has where ⟨·,·⟩ denotes the inner product in the Hilbert space . If we define the infinite sum Bessel's inequality follows from the identity which holds for any natural n. (en)
- In analisi funzionale, la disuguaglianza di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Bessel, è una proprietà dei coefficienti di Fourier rispetto ad un sistema ortonormale di un elemento in uno spazio di Hilbert. Una forma più forte della disuguaglianza è fornita dal teorema di Riesz-Fischer. Sia uno spazio di Hilbert, e sia un sistema ortonormale in . Allora, per qualsiasi in si ha che: dove denota il prodotto interno dello spazio di Hilbert . Se si definisce: La disuguaglianza di Bessel segue dall'identità: che vale per qualsiasi , escluso minore di . (it)
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| - En matemàtiques, especialment en anàlisi funcional, la desigualtat de Bessel és una proposició sobre els coeficients d'un element en un espai de Hilbert respecte a una successió ortonormal. Sigui un espai de Hilbert, i suposi's que és una seqüència ortonormal en . Llavors, per a tot de es compleix que on <·, ·> denota el producte interior en l'espai de Hilbert . Si es defineix la suma infinita la desigualtat de Bessel ens diu que aquesta sèrie matemàtica convergeix. Per a una successió ortonormal completa (és a dir, per una successió ortonormal que alhora és una base ortonormal de ), hom té la identitat de Parseval, que reemplaça la desigualtat per una igualtat (i conseqüentment amb ). En àlgebra lineal la desigualtat de Bessel estipula que donat un espai vectorial V amb producte interior definit, donada un subconjunt ortonormal de V, es compleix que per a tot x de V: . (ca)
- Die besselsche Ungleichung beschreibt in der Funktionalanalysis den Sachverhalt, dass ein Vektor eines Hilbertraums mindestens so „lang“ wie seine Orthogonalprojektion auf einen beliebigen Untervektorraum ist. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel benannt, der sie im Jahr 1828 für den Spezialfall der Fourierreihe bewies. (de)
- In mathematics, especially functional analysis, Bessel's inequality is a statement about the coefficients of an element in a Hilbert space with respect to an orthonormal sequence. The inequality was derived by F.W. Bessel in 1828. Let be a Hilbert space, and suppose that is an orthonormal sequence in . Then, for any in one has where ⟨·,·⟩ denotes the inner product in the Hilbert space . If we define the infinite sum consisting of "infinite sum" of vector resolute in direction , Bessel's inequality tells us that this series converges. One can think of it that there exists that can be described in terms of potential basis . For a complete orthonormal sequence (that is, for an orthonormal sequence that is a basis), we have Parseval's identity, which replaces the inequality with an equality (and consequently with ). Bessel's inequality follows from the identity which holds for any natural n. (en)
- En matematiko, aparte en , neegalaĵo de Bessel estas frazo pri koeficientoj de ero x en hilberta spaco respektive al vico. Estu H hilberta spaco, kaj estu ortnormala vico en H. Tiam, por ĉiu x en H: kie <∙,∙> signifas la en H. Se difini la malfinian sumon do la neegalaĵo de Bessel diras ke ĉi tiu serio konverĝas. Por plena ortnormala vico (tio estas, por ortnormala vico kiu estas ), estas , kiu anstataŭigas la neegalaĵon per egaleco (kaj sekve x' per x). Neegalaĵo de Bessel sekvas el idento: kiu veras por ĉiu n≥1. (eo)
- En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de Bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal. (es)
- En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel. (fr)
- 함수해석학에서, 베셀 부등식(Bessel不等式, 영어: Bessel’s inequality)은 내적 공간 속의 벡터의 정규 직교 수열에 대한 계수가 만족시키는 부등식이다. (ko)
- 数学の、特に函数解析学の分野におけるベッセルの不等式（ベッセルのふとうしき、英: Bessel's inequality）は、正規直交列についてのヒルベルト空間のある元 の係数に関する不等式である・ をヒルベルト空間とし、 を 内の正規直交列とする。このとき、 内の任意の に対し が成立する。ここで 〈•,•〉 はヒルベルト空間 の内積を表す。 方向のベクトル の無限和 を定義すると、ベッセルの不等式よりこの級数は収束する。基底 によって表現される が存在するものと考えることが出来る。 完全正規直交列（すなわち、基底であるような正規直交列）に対しては、不等号が等号に置き換えられたパーセヴァルの等式が成り立つ（したがって は となる）。 ベッセルの不等式は、任意の自然数 n に対して成り立つ次の関係式より従う： (ja)
- In analisi funzionale, la disuguaglianza di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Bessel, è una proprietà dei coefficienti di Fourier rispetto ad un sistema ortonormale di un elemento in uno spazio di Hilbert. Una forma più forte della disuguaglianza è fornita dal teorema di Riesz-Fischer. Sia uno spazio di Hilbert, e sia un sistema ortonormale in . Allora, per qualsiasi in si ha che: dove denota il prodotto interno dello spazio di Hilbert . Se si definisce: la disuguaglianza di Bessel ci dice che la serie converge, infatti in questo caso si ottiene l'uguglianza dei termini e il vettore può essere descritto completamente nel sistema ortonormale. Per una successione ortonormale completa (ovvero una successione ortonormale che è una base ortonormale), vale l'identità di Parseval, ovvero vale l'uguaglianza al posto della disuguaglianza, ed inoltre: La disuguaglianza di Bessel segue dall'identità: che vale per qualsiasi , escluso minore di . (it)
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