In algebra, the bicommutant of a subset S of a semigroup (such as an algebra or a group) is the commutant of the commutant of that subset. It is also known as the double commutant or second commutant and is written . The bicommutant of S always contains S. So . On the other hand, . So , i.e. the commutant of the bicommutant of S is equal to the commutant of S. By induction, we have: and for n > 1. It is clear that, if S1 and S2 are subsets of a semigroup, If it is assumed that and (this is the case, for instance, for von Neumann algebras), then the above equality gives
| Attributes | Values |
|---|
| rdfs:label
| - Bicommutant (en)
- Bicommutant (fr)
- 二重交換団 (ja)
|
| rdfs:comment
| - En algèbre, le bicommutant d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée , son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : . (fr)
- 数学の代数学の分野において、ある（多元環や群のような）半群の部分集合 S の二重可換子環（にじゅうかかんしかん、英: bicommutant）とは、その部分集合の可換子環の可換子環のことを言う。双可換子環や第二可換子環とも呼ばれ、 と表記される。 二重可換子環は、作用素環の代数的構造と解析的構造とを関連付けるの存在により、作用素論の分野において特に有用となる。特に、M をあるヒルベルト空間 H に対するC*-環 B(H) 内の単位的（unital）な自己共役作用素環とすると、M の弱閉包と強閉包および二重可換子環は等しくなる。このことから、B(H) のある単位的なC*-部分環 M がフォン・ノイマン環であるための必要十分条件は、 であることが分かる。またこの等式が成り立たないなら、フォン・ノイマン環が を生成する。 S の二重可換子環は常に S を含む。したがって が成立する。一方、 も成立する。したがって が成り立ち、S の二重可換子環の可換子環は、S の可換子環と等しいことが分かる。帰納的に、次が成り立つ。 および ただし n > 1 とする。 S1 および S2 をある半群の部分集合とすると、次が成り立つのは明らかである。 また および を仮定すると（これは例えばフォン・ノイマン環に対して成り立つ）、上の等式より次式が得られる。 (ja)
- In algebra, the bicommutant of a subset S of a semigroup (such as an algebra or a group) is the commutant of the commutant of that subset. It is also known as the double commutant or second commutant and is written . The bicommutant of S always contains S. So . On the other hand, . So , i.e. the commutant of the bicommutant of S is equal to the commutant of S. By induction, we have: and for n > 1. It is clear that, if S1 and S2 are subsets of a semigroup, If it is assumed that and (this is the case, for instance, for von Neumann algebras), then the above equality gives (en)
|
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| has abstract
| - In algebra, the bicommutant of a subset S of a semigroup (such as an algebra or a group) is the commutant of the commutant of that subset. It is also known as the double commutant or second commutant and is written . The bicommutant is particularly useful in operator theory, due to the von Neumann double commutant theorem, which relates the algebraic and analytic structures of operator algebras. Specifically, it shows that if M is a unital, self-adjoint operator algebra in the C*-algebra B(H), for some Hilbert space H, then the weak closure, strong closure and bicommutant of M are equal. This tells us that a unital C*-subalgebra M of B(H) is a von Neumann algebra if, and only if, , and that if not, the von Neumann algebra it generates is . The bicommutant of S always contains S. So . On the other hand, . So , i.e. the commutant of the bicommutant of S is equal to the commutant of S. By induction, we have: and for n > 1. It is clear that, if S1 and S2 are subsets of a semigroup, If it is assumed that and (this is the case, for instance, for von Neumann algebras), then the above equality gives (en)
- En algèbre, le bicommutant d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée , son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : . (fr)
- 数学の代数学の分野において、ある（多元環や群のような）半群の部分集合 S の二重可換子環（にじゅうかかんしかん、英: bicommutant）とは、その部分集合の可換子環の可換子環のことを言う。双可換子環や第二可換子環とも呼ばれ、 と表記される。 二重可換子環は、作用素環の代数的構造と解析的構造とを関連付けるの存在により、作用素論の分野において特に有用となる。特に、M をあるヒルベルト空間 H に対するC*-環 B(H) 内の単位的（unital）な自己共役作用素環とすると、M の弱閉包と強閉包および二重可換子環は等しくなる。このことから、B(H) のある単位的なC*-部分環 M がフォン・ノイマン環であるための必要十分条件は、 であることが分かる。またこの等式が成り立たないなら、フォン・ノイマン環が を生成する。 S の二重可換子環は常に S を含む。したがって が成立する。一方、 も成立する。したがって が成り立ち、S の二重可換子環の可換子環は、S の可換子環と等しいことが分かる。帰納的に、次が成り立つ。 および ただし n > 1 とする。 S1 および S2 をある半群の部分集合とすると、次が成り立つのは明らかである。 また および を仮定すると（これは例えばフォン・ノイマン環に対して成り立つ）、上の等式より次式が得られる。 (ja)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
| is Wikipage redirect
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)