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| - En mathématiques, la tribu borélienne (également appelée tribu de Borel ou tribu des boréliens) sur un espace topologique X est la plus petite tribu sur X contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens. Le concept doit son nom à Émile Borel, qui a publié en 1898 une première exposition de la tribu borélienne de la droite réelle. (fr)
- De borelstam is een wiskundige structuur die aangeeft in welke mate de open verzamelingen van een topologische ruimte een meetbaar onderscheid maken tussen de punten van die ruimte. Hij is genoemd naar Émile Borel. Aanvankelijk werd de borelstam op de verzameling der reële getallen (met de gebruikelijke topologie) bestudeerd als uitgangspunt voor de maattheorie. (nl)
- Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими. Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает вещественная прямая. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства.В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения. Названа в честь Эмиля Бореля. (ru)
- La σ-àlgebra de Borel associada a un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres a T que contenen tots els oberts de T; en altres paraules, és la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen conjunts de Borel o conjunts borelians o simplement borelians. L'existència i unicitat de la σ-àlgebra mínima es demostra construint-la com la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, ja que el resultat d'una intersecció d'un nombre arbitrari de σ-àlgebres és també una σ-àlgebra. (ca)
- Die borelsche σ-Algebra ist ein Mengensystem in der Maßtheorie und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen Stochastik und Integrationstheorie. Die borelsche σ-Algebra ist eine σ-Algebra, die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will, schließt aber Negativresultate wie den Satz von Vitali aus. (de)
- En matemáticas, el álgebra de Borel (más correctamente, σ-álgebra de Borel, también llamada boreliana) sobre un espacio topológico X es una σ-álgebra de subconjuntos de X asociada a la topología de X. En la literatura matemática se pueden encontrar dos definiciones no equivalentes de ésta:
* La σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos.
* La σ-álgebra generada por los conjuntos compactos. (es)
- In matematica l'algebra di Borel, o più propriamente la σ-algebra di Borel, è la più piccola σ-algebra su un insieme dotato di struttura topologica che sia compatibile con la topologia stessa, ossia che contenga tutti gli aperti della topologia. Lo spazio misurabile così definito prende il nome di spazio boreliano, gli insiemi contenuti nella σ-algebra di Borel sono detti insiemi boreliani o insiemi di Borel ed una misura definita su una σ-algebra di Borel è detta misura di Borel. (it)
- Em matemática, uma Álgebra de Borel ou -álgebra de Borel é qualquer conjunto em um espaço topológico que pode ser formado por abertos através das operações de união enumerável, interseção enumerável e diferença de conjuntos. Equivalentemente, é a menor sigma-álgebra (-álgebra) que contém os abertos da topologia em questão. As álgebras de Borel foram nomeadas a partir de Émile Borel. (pt)
- Борелівська сигма-алгебра — це мінімальна сигма-алгебра, така, що містить всі відкриті підмножини топологічного простору (відповідно, вона містить і всі замкнуті). Елементи даної сигма-алгебри називаються борелівськими множинами. Якщо не обумовлене протилежне, як топологічний простір виступає множина дійсних чисел. Борелівська сигма-алгебра зазвичай виступає в ролі сигма-алгебри випадкових подій ймовірнісного простору. (uk)
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| has abstract
| - La σ-àlgebra de Borel associada a un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres a T que contenen tots els oberts de T; en altres paraules, és la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen conjunts de Borel o conjunts borelians o simplement borelians. L'existència i unicitat de la σ-àlgebra mínima es demostra construint-la com la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, ja que el resultat d'una intersecció d'un nombre arbitrari de σ-àlgebres és també una σ-àlgebra. De manera equivalent, es pot definir la σ-àlgebra de Borel com la menor de les σ-àlgebres que contenen tots els subconjunts tancats de T. (ca)
- Die borelsche σ-Algebra ist ein Mengensystem in der Maßtheorie und essentiell für den axiomatischen Aufbau der modernen Stochastik und Integrationstheorie. Die borelsche σ-Algebra ist eine σ-Algebra, die alle Mengen enthält, denen man naiverweise ein Volumen oder eine Wahrscheinlichkeit zuordnen will, schließt aber Negativresultate wie den Satz von Vitali aus. Ihre besondere Bedeutung erhält die borelsche σ-Algebra dadurch, dass sie auf natürliche Weise an die Struktur von topologischen Räumen und damit sowohl an metrische als auch an normierte Räume angepasst ist. Dies zeigt sich unter anderem darin, dass bezüglich der borelschen σ-Algebra alle stetigen Funktionen immer messbar sind. Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen lassen sich nur in sehr seltenen Fällen vollständig beschreiben. Es ist jedoch umgekehrt schwer, eine Menge zu konstruieren, die nicht in der borelschen σ-Algebra liegt. Als grobe Faustregel gilt, dass sie „fast alle vorkommenden“ Mengen beziehungsweise „jede Menge, die man sich konstruktiv herstellen kann“ enthält. Die in der borelschen σ-Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen, borelsche Mengen oder auch Borel-messbare Mengen genannt. Die Namensgebung der σ-Algebra und der Mengen folgt zu Ehren von Émile Borel, der sie im Jahre 1898 erstmals implizit verwendete. (de)
- En matemáticas, el álgebra de Borel (más correctamente, σ-álgebra de Borel, también llamada boreliana) sobre un espacio topológico X es una σ-álgebra de subconjuntos de X asociada a la topología de X. En la literatura matemática se pueden encontrar dos definiciones no equivalentes de ésta:
* La σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos.
* La σ-álgebra generada por los conjuntos compactos. La σ-álgebra generada por una colección T de subconjuntos de X se define como la mínima σ-álgebra que contiene a T. La existencia y unicidad de una tal σ-álgebra se demuestra fácilmente notando que la intersección de todas las σ-álgebras que contienen a T es en sí misma una σ-álgebra que contiene a T. Los elementos del álgebra de Borel se llaman Conjunto de Borel o conjuntos borelianos y deben su nombre al matemático Émile Borel, que publicó en 1898 una primera exposición del álgebra boreliana de los números reales. En espacios topológicos generales, o aun en los localmente compactos, las dos estructuras definidas arriba pueden ser diferentes, aunque este fenómeno se considera patológico en el análisis matemático. De hecho, las dos estructuras coinciden si el espacio en consideración es un espacio localmente compacto, separable y métrico. (es)
- En mathématiques, la tribu borélienne (également appelée tribu de Borel ou tribu des boréliens) sur un espace topologique X est la plus petite tribu sur X contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens. Le concept doit son nom à Émile Borel, qui a publié en 1898 une première exposition de la tribu borélienne de la droite réelle. (fr)
- De borelstam is een wiskundige structuur die aangeeft in welke mate de open verzamelingen van een topologische ruimte een meetbaar onderscheid maken tussen de punten van die ruimte. Hij is genoemd naar Émile Borel. Aanvankelijk werd de borelstam op de verzameling der reële getallen (met de gebruikelijke topologie) bestudeerd als uitgangspunt voor de maattheorie. (nl)
- In matematica l'algebra di Borel, o più propriamente la σ-algebra di Borel, è la più piccola σ-algebra su un insieme dotato di struttura topologica che sia compatibile con la topologia stessa, ossia che contenga tutti gli aperti della topologia. Lo spazio misurabile così definito prende il nome di spazio boreliano, gli insiemi contenuti nella σ-algebra di Borel sono detti insiemi boreliani o insiemi di Borel ed una misura definita su una σ-algebra di Borel è detta misura di Borel. La nozione di algebra di Borel è stata introdotta da Émile Borel nell'ambito dei numeri reali, ed in seguito generalizzata a spazi topologici arbitrari. (it)
- Em matemática, uma Álgebra de Borel ou -álgebra de Borel é qualquer conjunto em um espaço topológico que pode ser formado por abertos através das operações de união enumerável, interseção enumerável e diferença de conjuntos. Equivalentemente, é a menor sigma-álgebra (-álgebra) que contém os abertos da topologia em questão. As álgebras de Borel foram nomeadas a partir de Émile Borel. Álgebra de Borel são importantes em teoria da medida, uma vez que qualquer medida definida em um espaço de abertos pode ser também definida em todas álgebra de Borel deste espaço. Qualquer medida definida nas álgebra de Borel são chamadas Medida de Borel. Em alguns contextos, existe uma definição alternativa em que as álgebra de Borel são geradas por conjuntos compactos no lugar de abertos; essas definições geram a mesma -álgebra no caso de X = com a topologia usual e diversos outros espaços bem-definidos incluindo espaços de Hausdorff mas, em geral, essas duas definições não são equivalentes. (pt)
- Борелівська сигма-алгебра — це мінімальна сигма-алгебра, така, що містить всі відкриті підмножини топологічного простору (відповідно, вона містить і всі замкнуті). Елементи даної сигма-алгебри називаються борелівськими множинами. Якщо не обумовлене протилежне, як топологічний простір виступає множина дійсних чисел. Борелівська сигма-алгебра зазвичай виступає в ролі сигма-алгебри випадкових подій ймовірнісного простору. У борелівській сигма-алгебрі на прямій або на відрізку міститься велика кількість «простих» множин: всі інтервали, напівінтервали, відрізки і їх злічені об'єднання.Алгебра була названа на честь Бореля. (uk)
- Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими. Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает вещественная прямая. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства.В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения. Названа в честь Эмиля Бореля. (ru)
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