| rdfs:comment
| - Inom matematiken är Brezis–Gallouets olikhet, uppkallad efter och , en olikhet som är användbar inom partiella differentialekvationer. Olikheten säger följande: Låt där . Då säger Brézis–Gallouets olikhet att det finns en konstant så att där är Laplaceoperatorn och des första egenvärde. (sv)
- In mathematical analysis, the Brezis–Gallouët inequality, named after Haïm Brezis and Thierry Gallouët, is an inequality valid in 2 spatial dimensions. It shows that a function of two variables which is sufficiently smooth is (essentially) bounded, and provides an explicit bound, which depends only logarithmically on the second derivatives. It is useful in the study of partial differential equations. Proof The regularity hypothesis on is defined such that there exists an extension operator such that:
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* . For any , one writes: Noticing that, for any , there holds (en)
- En analyse (mathématique), l' inégalité de Brezis-Gallouët, du nom de ses auteurs Haïm Brezis et Thierry Gallouët, est une inégalité portant sur des fonctions définies dans un domaine inclus dans , qui est l'intérieur ou l'extérieur d'un domaine borné à frontière régulière. Cette inégalité, qui donne une borne d'une telle fonction en fonction des normes de ses dérivées premières et secondes, est cruciale dans l'étude de certaines équations aux dérivées partielles. Démonstration
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* . Pour tout , on écrit : En remarquant que, pour toute fonction , on a l'égalité (fr)
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| - In mathematical analysis, the Brezis–Gallouët inequality, named after Haïm Brezis and Thierry Gallouët, is an inequality valid in 2 spatial dimensions. It shows that a function of two variables which is sufficiently smooth is (essentially) bounded, and provides an explicit bound, which depends only logarithmically on the second derivatives. It is useful in the study of partial differential equations. Let be the exterior or the interior of a bounded domain with regular boundary, or itself. Then the Brezis–Gallouët inequality states that there exists a real only depending on such that, for all which is not a.e. equal to 0, Proof The regularity hypothesis on is defined such that there exists an extension operator such that:
* is a bounded operator from to ;
* is a bounded operator from to ;
* the restriction to of is equal to for all . Let be such that . Then, denoting by the function obtained from by Fourier transform, one gets the existence of only depending on such that:
* ,
* ,
* . For any , one writes: owing to the preceding inequalities and to the Cauchy-Schwarz inequality. This yields The inequality is then proven, in the case , by letting . For the general case of non identically null, it suffices to apply this inequality to the function . Noticing that, for any , there holds one deduces from the Brezis-Gallouet inequality that there exists only depending on such that, for all which is not a.e. equal to 0, The previous inequality is close to the way that the Brezis-Gallouet inequality is cited in. (en)
- En analyse (mathématique), l' inégalité de Brezis-Gallouët, du nom de ses auteurs Haïm Brezis et Thierry Gallouët, est une inégalité portant sur des fonctions définies dans un domaine inclus dans , qui est l'intérieur ou l'extérieur d'un domaine borné à frontière régulière. Cette inégalité, qui donne une borne d'une telle fonction en fonction des normes de ses dérivées premières et secondes, est cruciale dans l'étude de certaines équations aux dérivées partielles. Cette inégalité peut s'exprimer ainsi. Il existe un réel ne dépendant que de tel que, pour toute fonction non presque partout nulle, Démonstration L'hypothèse de régularité de est choisie telle qu'il existe un opérateur de prolongement qui vérifie les propriétés suivantes :
* est un opérateur borné de dans ;
* est un opérateur borné de dans ;
* la restriction à de est égale à pour tout . Soit tel que . On a alors, en notant la fonction déduite de par transformation de Fourier, l'existence d'un réel ne dépendant que de tel que :
* ,
* ,
* . Pour tout , on écrit : grâce aux inégalités précédentes et à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Cela permet d'écrire : La preuve de l'inégalité est obtenue, toujours dans le cas , en choisissant . On obtient alors l'inégalité pour toute fonction non identiquement nulle en appliquant l'inégalité que l'on vient de démontrer pour la fonction . En remarquant que, pour toute fonction , on a l'égalité on déduit de l'inégalité précédente l'existence d'un réel ne dépendant que de tel que, pour toute fonction non presque partout nulle, (fr)
- Inom matematiken är Brezis–Gallouets olikhet, uppkallad efter och , en olikhet som är användbar inom partiella differentialekvationer. Olikheten säger följande: Låt där . Då säger Brézis–Gallouets olikhet att det finns en konstant så att där är Laplaceoperatorn och des första egenvärde. (sv)
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