In mathematics, a canonical basis is a basis of an algebraic structure that is canonical in a sense that depends on the precise context:
* In a coordinate space, and more generally in a free module, it refers to the standard basis defined by the Kronecker delta.
* In a polynomial ring, it refers to its standard basis given by the monomials, .
* For finite extension fields, it means the polynomial basis.
* In linear algebra, it refers to a set of n linearly independent generalized eigenvectors of an n×n matrix , if the set is composed entirely of Jordan chains.
* In representation theory, it refers to the basis of the quantum groups introduced by Lusztig.
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| - Standardbasis (de)
- Canonical basis (en)
- Base canonique (fr)
- Baza kanoniczna (pl)
- Base canônica (pt)
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| rdfs:comment
| - Als Standardbasis, natürliche Basis, Einheitsbasis oder kanonische Basis bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Linearen Algebra eine spezielle Basis, die in gewissen Vektorräumen bereits aufgrund ihrer Konstruktion unter allen möglichen Basen ausgezeichnet ist. (de)
- In mathematics, a canonical basis is a basis of an algebraic structure that is canonical in a sense that depends on the precise context:
* In a coordinate space, and more generally in a free module, it refers to the standard basis defined by the Kronecker delta.
* In a polynomial ring, it refers to its standard basis given by the monomials, .
* For finite extension fields, it means the polynomial basis.
* In linear algebra, it refers to a set of n linearly independent generalized eigenvectors of an n×n matrix , if the set is composed entirely of Jordan chains.
* In representation theory, it refers to the basis of the quantum groups introduced by Lusztig. (en)
- Baza kanoniczna – pojęcie matematyczne oznaczające bazę pewnej struktury algebraicznej, która jest w ścisłym sensie zależącym od kontekstu:
* w przestrzeni współrzędnych, lub ogólniej , oznacza ona bazę standardową zdefiniowaną za pomocą delty Kroneckera,
* w pierścieniu wielomianów oznacza bazę standardową złożoną z jednomianów
* w skończonych rozszerzeniach ciał oznacza ,
* w istnieje baza kanoniczna Lusztiga i blisko z nią związana Kashiwary w i ich reprezentacjach (por. , ang. Littelmann path model). (pl)
- En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, certains espaces vectoriels possèdent une base qualifiée de canonique ; il s'agit d'une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de ℝn, de la base canonique de l'espace vectoriel des matrices ou de celui des polynômes. En revanche sur un espace vectoriel quelconque, la notion n'a pas de sens : il n'y a pas de choix de base privilégiée. (fr)
- Na matemática, a base canônica de um espaço vetorial ou de outras estruturas algébricas semelhantes é a base mais primitiva (base geradora) e intuitiva para a estrutura. Por exemplo:
* No a base canônica é dada pelo conjunto {(1,0), (0,1)}
* No a base canônica é dada pelo conjunto {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}
* Analogamente, no a base canônica é formada pelos vetores que tem 1 em uma coordenada e 0 nas demais
* De modo ainda mais genérico, no espaço vetorial Kn para um corpo K qualquer, a base canônica é o conjunto de n vetores vi, em que cada vetor vi tem a j-ésima coordenada igual a sendo δ a função delta de Kronecker
* Na álgebra K[x] dos polinômios com coeficientes no corpo K, a base canônica é o conjunto enumerável {1, x, x², ...}
* Se um corpo E é uma extensão finita simples d (pt)
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| - Als Standardbasis, natürliche Basis, Einheitsbasis oder kanonische Basis bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Linearen Algebra eine spezielle Basis, die in gewissen Vektorräumen bereits aufgrund ihrer Konstruktion unter allen möglichen Basen ausgezeichnet ist. (de)
- In mathematics, a canonical basis is a basis of an algebraic structure that is canonical in a sense that depends on the precise context:
* In a coordinate space, and more generally in a free module, it refers to the standard basis defined by the Kronecker delta.
* In a polynomial ring, it refers to its standard basis given by the monomials, .
* For finite extension fields, it means the polynomial basis.
* In linear algebra, it refers to a set of n linearly independent generalized eigenvectors of an n×n matrix , if the set is composed entirely of Jordan chains.
* In representation theory, it refers to the basis of the quantum groups introduced by Lusztig. (en)
- En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, certains espaces vectoriels possèdent une base qualifiée de canonique ; il s'agit d'une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de ℝn, de la base canonique de l'espace vectoriel des matrices ou de celui des polynômes. En revanche sur un espace vectoriel quelconque, la notion n'a pas de sens : il n'y a pas de choix de base privilégiée. La propriété spécifique de ces bases canoniques est que pour tout vecteur v de l'espace, les coordonnées de v dans la base canonique sont données par les composantes mêmes (coefficients) qui constituent v. (fr)
- Baza kanoniczna – pojęcie matematyczne oznaczające bazę pewnej struktury algebraicznej, która jest w ścisłym sensie zależącym od kontekstu:
* w przestrzeni współrzędnych, lub ogólniej , oznacza ona bazę standardową zdefiniowaną za pomocą delty Kroneckera,
* w pierścieniu wielomianów oznacza bazę standardową złożoną z jednomianów
* w skończonych rozszerzeniach ciał oznacza ,
* w istnieje baza kanoniczna Lusztiga i blisko z nią związana Kashiwary w i ich reprezentacjach (por. , ang. Littelmann path model). (pl)
- Na matemática, a base canônica de um espaço vetorial ou de outras estruturas algébricas semelhantes é a base mais primitiva (base geradora) e intuitiva para a estrutura. Por exemplo:
* No a base canônica é dada pelo conjunto {(1,0), (0,1)}
* No a base canônica é dada pelo conjunto {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}
* Analogamente, no a base canônica é formada pelos vetores que tem 1 em uma coordenada e 0 nas demais
* De modo ainda mais genérico, no espaço vetorial Kn para um corpo K qualquer, a base canônica é o conjunto de n vetores vi, em que cada vetor vi tem a j-ésima coordenada igual a sendo δ a função delta de Kronecker
* Na álgebra K[x] dos polinômios com coeficientes no corpo K, a base canônica é o conjunto enumerável {1, x, x², ...}
* Se um corpo E é uma extensão finita simples do corpo F a partir do elemento α (ou seja, ), a base canônica de E (como espaço vetorial de F) é o conjunto de n elementos {1, α, α², ... αn-1}, em que n é o grau de α em F (pt)
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