About: Category of abelian groups

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In mathematics, the category Ab has the abelian groups as objects and group homomorphisms as morphisms. This is the prototype of an abelian category: indeed, every small abelian category can be embedded in Ab.

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rdfs:label	Categoría de grupos abelianos (es) Category of abelian groups (en) Kategori grup abelian (in) Catégorie des groupes abéliens (fr) アーベル群の圏 (ja) Categorie van abelse groepen (nl) Категория абелевых групп (ru) Categoria de grupos abelianos (pt)
rdfs:comment	In mathematics, the category Ab has the abelian groups as objects and group homomorphisms as morphisms. This is the prototype of an abelian category: indeed, every small abelian category can be embedded in Ab. (en) En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens. (fr) Dalam matematika, kategori Ab memiliki grup abelian sebagai objek dan homomorfisme grup sebagai . Ini adalah prototipe dari : memang, setiap pada dapat disematkan Ab. (in) 数学の一分野である圏論におけるアーベル群の圏（あーべるぐんのけん、英: category of abelian groups）Ab は、アーベル群を対象とし群準同型を射とする圏である。アーベル群の圏はアーベル圏の原型であり、実際に任意の小さいアーベル圏は Ab に埋め込める。 (ja) En matemáticas la categoría Ab. es la que tiene como objetos a los grupos abelianos y los homomorfismo de grupos como morfismos de la categoría. Los monomorfismos en Ab son los homomorfismos inyectivos de grupos abelianos, los epimorfismos son los homomorfismos suprayectivos y los isomorfismos son los homomorfismos biyectivos. El objeto cero de la categoría es el grupo trivial {0} que consiste solo del elemento neutro. Ab es una de Grp (categoría de grupos). Una gran diferencia entre Ab y Grp es que la suma de dos homomorfismos f y g de grupos abelianos es de nuevo un homomorfismo de grupos: (es) In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de categorie van abelse groepen, Ab, de categorie met de abelse groepen als objecten en de groepshomomorfismen als morfismen. Deze categorie is het prototype van een abelse categorie. De monomorfismen in Ab zijn de injectieve groepshomomorfismen, de epimorfismen zijn de surjectieve groepshomomorfismen en de isomorfismen zijn de bijectieve groepshomomorfismen. Het van Ab is de triviale groep {0}, die alleen uit haar identiteitselement bestaat. (nl) Em matemática, a categoria Ab tem os grupos abelianos como objetos e homomorfismos de grupos como morfismos. Este é o protótipo de uma categoria abeliana. Os monomorfismos em Ab são os homomorfismos de grupos injetivos, os epimorfismos são os homomorfismos de grupos sobrejectivos, e os isomorfismos são os homomorfismos de grupos bijetivos. O objeto inicial de Ab é o grupo trivial {0} o qual consiste somente de seus elementos neutros. (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) (pt) Категория абелевых групп (обозначается Ab) — категория, объекты которой — абелевы группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп. Является прототипом абелевой категории., в действительности, любая малая абелева категория может быть вложена в Ab. Ab является полной подкатегорией Grp (категории всех групп). Главное различие между Ab и Grp состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов абелевых групп — снова гомоморфизм: (f+g)(x+y) = f(x+y) + g(x+y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y) = (f+g)(x) + (f+g)(y) (ru)
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Link from a Wikipage to another Wikipage	Cambridge University Press Cartesian product Categories for the Working Mathematician Epimorphism Monomorphism Monoidal category Injective cogenerator Injective module Trivial group Group theory Mathematics Generator (category theory) Neutral element Normal subgroup Quotient group Cocomplete Full subcategory Function (mathematics) Morphism Concrete category Coproduct Bijective Closed monoidal category Complete category Zero object Kernel (algebra) Additive category Adjoint functors Category of sets Divisible group Faithful functor Direct limit Forgetful functor Graduate Texts in Mathematics Isomorphism Product (category theory) Projective module Group homomorphism Tensor product Preadditive category Surjective Abelian category Abelian group Kernel (category theory) Biproduct Cokernel Topos Small category Direct product of groups Categories in category theory Free abelian group Grothendieck category Category of groups Category of modules Category theory Set (mathematics) Exact functor Injective Direct sum of abelian groups Abelian sheaf Object (category theory)
sameAs	Category of abelian groups Category of abelian groups Category of abelian groups Category of abelian groups Category of abelian groups Category of abelian groups Category of abelian groups Category of abelian groups Category of abelian groups Category of abelian groups
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has abstract	In mathematics, the category Ab has the abelian groups as objects and group homomorphisms as morphisms. This is the prototype of an abelian category: indeed, every small abelian category can be embedded in Ab. (en)

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