The constant chord theorem is a statement in elementary geometry about a property of certain chords in two intersecting circles. The circles and intersect in the points and . is an arbitrary point on being different from and . The lines and intersect the circle in and . The constant chord theorem then states that the length of the chord in does not depend on the location of on , in other words the length is constant. The theorem stays valid when coincides with or , provided one replaces the then undefined line or by the tangent on at .
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| - مبرهنة الوتر الثابت (ar)
- Satz von der konstanten Sehne (de)
- Constant chord theorem (en)
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| - مبرهنة الوتر الثابت هي عبارة في الهندسة الإقليدية حول الأوتار المتعلقة بدائرتين متقاطعتين. تنص المبرهنة أنه إذا كانت الدوائر و تتقاطع في النقاط و . هي نقطة اختيارية على تختلف عن و . وإذا كانت الخطوط و تتقاطع مع الدائرة في و . فإنّ طول الوتر في لا يعتمد على موقع على ، بمعنى أنه ثابت. تظل المبرهنة صالحةً عند انطباق مع أو ، شرط أن يحل الخط المماس عند محل الخط غير المُعرّف آنذاك أو (ar)
- The constant chord theorem is a statement in elementary geometry about a property of certain chords in two intersecting circles. The circles and intersect in the points and . is an arbitrary point on being different from and . The lines and intersect the circle in and . The constant chord theorem then states that the length of the chord in does not depend on the location of on , in other words the length is constant. The theorem stays valid when coincides with or , provided one replaces the then undefined line or by the tangent on at . (en)
- Der Satz von der konstanten Sehne ist eine Aussage der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft einer bestimmten Sorte von Sehnen zweier sich schneidender Kreise beschreibt. Die Kreise und schneiden sich in den Punkten und und ist ein beliebiger von und verschiedener Punkt auf . Die Geraden und schneiden den Kreis in und . Der Satz von der konstanten Sehne besagt nun, dass die Länge der Sehne des Kreises nicht von der Wahl von abhängt, also konstant ist. (de)
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| - مبرهنة الوتر الثابت هي عبارة في الهندسة الإقليدية حول الأوتار المتعلقة بدائرتين متقاطعتين. تنص المبرهنة أنه إذا كانت الدوائر و تتقاطع في النقاط و . هي نقطة اختيارية على تختلف عن و . وإذا كانت الخطوط و تتقاطع مع الدائرة في و . فإنّ طول الوتر في لا يعتمد على موقع على ، بمعنى أنه ثابت. تظل المبرهنة صالحةً عند انطباق مع أو ، شرط أن يحل الخط المماس عند محل الخط غير المُعرّف آنذاك أو ثمّة مبرهنة مماثلة في البعد الثالث تنطبق على تقاطع اثنين من الكرات. تنص على أنه إذا كانت الكرات و تتقاطع في الدائرة . و هي نقطة عشوائية على سطح الكرة الأولى ، وليست على دائرة التقاطع . فإنّ المخروط الممتد الذي أنشئ بواسطة و يتقاطع مع الكرة الثانية في دائرة طول قطرها، أي أنه لا يعتمد على موقع على . (ar)
- Der Satz von der konstanten Sehne ist eine Aussage der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft einer bestimmten Sorte von Sehnen zweier sich schneidender Kreise beschreibt. Die Kreise und schneiden sich in den Punkten und und ist ein beliebiger von und verschiedener Punkt auf . Die Geraden und schneiden den Kreis in und . Der Satz von der konstanten Sehne besagt nun, dass die Länge der Sehne des Kreises nicht von der Wahl von abhängt, also konstant ist. Der Satz bleibt auch gültig, wenn mit oder übereinstimmt, insofern man dann die nicht definierte Gerade oder durch die Tangente an in ersetzt. Es gilt auch ein analoger Satz im Dreidimensionalen für den Schnitt zweier Kugeln. Die Kugeln und besitzen den Schnittkreis und ist ein beliebiger Punkt auf der Oberfläche der Kugel , der nicht auf dem Schnittkreis liegt. Die Verlängerung des von und gebildeten Schiefkegels schneidet die Kugel in einem Kreis, dessen Durchmesser eine konstante Länge besitzt, das heißt die Länge des Durchmessers hängt nicht von ab. Nathan Altshiller-Court beschrieb den Satz von der konstanten Sehne 1925 in dem Artikel sur deux cercles secants für die belgische Mathematikzeitschrift . Acht Jahre später publizierte er dann die dreidimensionale Variante unter dem Titel On Two Intersecting Spheres im American Mathematical Monthly. Später fand der Satz Eingang in mehrere Textbücher, zum Beispiel in Ross Honsbergers Mathematical Morsels und Roger Nelsens Proof Without Words II findet er sich als Aufgabe und in Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten von Halbeisen, Hungerbühler und Läuchli als Lehrsatz. (de)
- The constant chord theorem is a statement in elementary geometry about a property of certain chords in two intersecting circles. The circles and intersect in the points and . is an arbitrary point on being different from and . The lines and intersect the circle in and . The constant chord theorem then states that the length of the chord in does not depend on the location of on , in other words the length is constant. The theorem stays valid when coincides with or , provided one replaces the then undefined line or by the tangent on at . A similar theorem exists in three dimensions for the intersection of two spheres. The spheres and intersect in the circle . is arbitrary point on the surface of the first sphere , that is not on the intersection circle . The extended cone created by and intersects the second sphere in a circle. The length of the diameter of this circle is constant, that is it does not depend on the location of on . Nathan Altshiller Court described the constant chord theorem 1925 in the article sur deux cercles secants for the Belgian math journal Mathesis. Eight years later he published On Two Intersecting Spheres in the American Mathematical Monthly, which contained the 3-dimensional version. Later it was included in several textbooks, such as Ross Honsberger's Mathematical Morsels and 's Proof Without Words II, where it was given as a problem, or the German geometry textbook Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten by Halbeisen, Hungerbühler and Läuchli, where it was given as a theorem. (en)
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