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| - Differential (infinitesimal) (en)
- 미분소 (ko)
- 微分小 (ja)
- Diferencial (infinitesimal) (pt)
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| - 미분소(微分素)는 함수의 무한히 작은 변화값을 나타내는 무한소 값으로, 와 같이 나타낸다. 보통 함수의 변화값을 나타내는 기호로는 , 등이 있지만, 는 무한히 작은 값을 의미한다는 점에서 이들과 구별된다. 예를 들어, 가 에 대한 함수일 때, 의 변화량 와 의 변화량 는 도함수에 의하여 관계 맺어진다. 여기에서 는 를 로 미분한 도함수이다. 이는 가 가 무한히 작아지면서 도함수가 된다는 생각을 내포한다. 미분소를 수학적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있고, 이때 미분소는 일반적인 실수 범위의 수는 아니며, 선형 변환, 비표준해석학, 멱영원 등의 방법으로 정의할 수 있다. (ko)
- 初等解析学（微分積分学）において微分小（びぶんしょう、英: differential）の語は、適当な変量に関する無限小変分を指すために用いられる。例えば、変数 x に対してその増分（変分）はしばしば Δx と書かれるが、変数 x に関する無限に小さな増分を表すのに dx が用いられる。無限小変分（微分小）の概念は直観的な議論においてきわめて有効であり、またその数学的に意味のある定式化にはいくつもの方法が存在する。 初等解析学において、さまざまな変数に関する無限小変分の間の関係性を微分商を用いて述べることができる。y が x の函数であるとき、y の微分 dy は dx との間に等式 を通じて関係を持つ。ここに dy⁄dx は y の x に関する微分商である。 この式は「x に関する y の微分商とは差分商 Δy⁄Δx の Δx を無限小に近づけた極限である」という直観的な考えをまとめたものである。 微分小量の概念を数学的に明確にする方法には、例えば以下のようなものが考えられる： これらのアプローチの各々は互いに非常に異なっているけれども、いずれも「定量的」な概念であることは共通している。つまりこれらの方法で定式化された微分は「無限に小さい」のではなく「どれほどでも（必要なだけ十分に）小さい」のである。 (ja)
- O termo diferencial é usado em cálculo para referenciar a uma mudança infinitesimal (infinitamente pequena) em alguma quantidade variando. Por exemplo, se x é uma variável, então uma mudança no valor de x é frequentemente denotada Δx (pronunciado delta x). O diferencial dx representa uma mudança infinitamente pequena na variável x. A ideia de uma mudança infinitamente pequena ou infinitamente lenta é extremamente útil intuitivamente, e existem algumas maneiras de fazer a noção matematicamente precisa. Existem diversas abordagens para tornar a noção de diferenciais matematicamente precisa. (pt)
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| - 初等解析学（微分積分学）において微分小（びぶんしょう、英: differential）の語は、適当な変量に関する無限小変分を指すために用いられる。例えば、変数 x に対してその増分（変分）はしばしば Δx と書かれるが、変数 x に関する無限に小さな増分を表すのに dx が用いられる。無限小変分（微分小）の概念は直観的な議論においてきわめて有効であり、またその数学的に意味のある定式化にはいくつもの方法が存在する。 初等解析学において、さまざまな変数に関する無限小変分の間の関係性を微分商を用いて述べることができる。y が x の函数であるとき、y の微分 dy は dx との間に等式 を通じて関係を持つ。ここに dy⁄dx は y の x に関する微分商である。 この式は「x に関する y の微分商とは差分商 Δy⁄Δx の Δx を無限小に近づけた極限である」という直観的な考えをまとめたものである。 微分小量の概念を数学的に明確にする方法には、例えば以下のようなものが考えられる： 1.
* 線型写像として: これは全微分および微分幾何学における外微分の定義を下敷きにしたものである。 2.
* 可換環の冪零元として: この方法は代数幾何学ではよく用いられる。 3.
* 直観主義論理の枠組みで: この方法はや滑らかな無限小解析といわれるもので、冪零無限小が導入されるという点では代数幾何学的な方法と近いが、そうなるメカニズムは全く異なりからくる。 4.
* 超実数の無限小元として: 超実数は可逆な無限小や無限大を含むような実数概念の拡張である。このような方法はアブラハム・ロビンソンの開拓した超準解析による。 これらのアプローチの各々は互いに非常に異なっているけれども、いずれも「定量的」な概念であることは共通している。つまりこれらの方法で定式化された微分は「無限に小さい」のではなく「どれほどでも（必要なだけ十分に）小さい」のである。 (ja)
- 미분소(微分素)는 함수의 무한히 작은 변화값을 나타내는 무한소 값으로, 와 같이 나타낸다. 보통 함수의 변화값을 나타내는 기호로는 , 등이 있지만, 는 무한히 작은 값을 의미한다는 점에서 이들과 구별된다. 예를 들어, 가 에 대한 함수일 때, 의 변화량 와 의 변화량 는 도함수에 의하여 관계 맺어진다. 여기에서 는 를 로 미분한 도함수이다. 이는 가 가 무한히 작아지면서 도함수가 된다는 생각을 내포한다. 미분소를 수학적으로 정의하는 방법에는 여러 가지가 있고, 이때 미분소는 일반적인 실수 범위의 수는 아니며, 선형 변환, 비표준해석학, 멱영원 등의 방법으로 정의할 수 있다. (ko)
- O termo diferencial é usado em cálculo para referenciar a uma mudança infinitesimal (infinitamente pequena) em alguma quantidade variando. Por exemplo, se x é uma variável, então uma mudança no valor de x é frequentemente denotada Δx (pronunciado delta x). O diferencial dx representa uma mudança infinitamente pequena na variável x. A ideia de uma mudança infinitamente pequena ou infinitamente lenta é extremamente útil intuitivamente, e existem algumas maneiras de fazer a noção matematicamente precisa. Usando o cálculo é possível relacionar as mudanças infinitamente pequenas de várias variáveis a cada outra matematicamente usando derivadas. Se y é uma função de x, então o diferencial dy de y é relacionado a dx pela fórmula onde dy/dx denota a derivada de y em relação a x. Esta fórmula sumariza a ideia intuitiva de que a derivada de de y em relação a x é o limite da razão das diferenças Δy/Δx quando Δx se torna infinitesimal. Existem diversas abordagens para tornar a noção de diferenciais matematicamente precisa. 1.
* Diferenciais como transformações lineares. Esta abordagem é a base da definição de derivada total e da em geometria diferencial. 2.
* Diferenciais como elementos nilpotentes de anéis comutativos. Esta abordagem é popular em geometria algébrica. 3.
* Diferenciais em modelos contínuos da teoria dos conjuntos. Esta abordagem é conhecida como ou sendo intimamente relacionada com a abordagem algébrica geométrica, com exceção de que ideias da topos são usadas para ocultar o mecanismo pelo qual infinitesimais nilpotentes são introduzidos. 4.
* Diferenciais como infinitesimais em sistemas de números hiper-reais, que são extensões dos números reais que contém infinitesimais inversíveis e números largamente infinitos. Esta é a abordagem da análise não padronizada do pioneiro Abraham Robinson. Estas abordagens são muito distintas umas das outras, mas tem em comum a ideia de ser quantitativa, ou seja, dizendo não apenas que um diferencial é infinitamente pequeno, mas quão pequeno ele é. (pt)
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