In mathematics, if G is a group and ρ is a linear representation of it on the vector space V, then the dual representation ρ* is defined over the dual vector space V* as follows: ρ*(g) is the transpose of ρ(g−1), that is, ρ*(g) = ρ(g−1)T for all g ∈ G. The dual representation is also known as the contragredient representation. If g is a Lie algebra and π is a representation of it on the vector space V, then the dual representation π* is defined over the dual vector space V* as follows: π*(X) = −π(X)T for all X ∈ g. In both cases, the dual representation is a representation in the usual sense.
| Attributes | Values |
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| rdfs:label
| - Kontragrediente Darstellung (de)
- Dual representation (en)
- Représentation duale (fr)
- 反傾表現 (ja)
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| rdfs:comment
| - In der Mathematik ist die kontragrediente Darstellung oder duale Darstellung ein wichtiges Hilfsmittel in linearer Algebra, projektiver Geometrie und Darstellungstheorie. (de)
- が群で、 がベクトル空間 上の の線型表現であるとき、反傾表現（はんけいひょうげん、英: contragredient representation）あるいは双対表現（そうついひょうげん、英: dual representation） は以下のようにして双対ベクトル空間 上定義される： は の転置である、つまり、すべての に対して である。 がリー環で がベクトル空間 上のその表現であれば、反傾表現 は以下のようにして双対ベクトル空間 上定義される： すべての に対して である。 いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。 ユニタリ表現に対しては、反傾表現はと等しい。 (ja)
- In mathematics, if G is a group and ρ is a linear representation of it on the vector space V, then the dual representation ρ* is defined over the dual vector space V* as follows: ρ*(g) is the transpose of ρ(g−1), that is, ρ*(g) = ρ(g−1)T for all g ∈ G. The dual representation is also known as the contragredient representation. If g is a Lie algebra and π is a representation of it on the vector space V, then the dual representation π* is defined over the dual vector space V* as follows: π*(X) = −π(X)T for all X ∈ g. In both cases, the dual representation is a representation in the usual sense. (en)
- En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel V, on définit sa représentation duale ou représentation contragrédiente ρ* sur le dual V* de V.
* Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ* est la représentation de G définie par :pour tout élément g de G, ρ*(g) est la transposée de ρ(g-1).
* Si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie , alors ρ* est la représentation de définie par :pour tout élément u de , ρ*(u) est la transposée de - ρ(u). (fr)
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| - In der Mathematik ist die kontragrediente Darstellung oder duale Darstellung ein wichtiges Hilfsmittel in linearer Algebra, projektiver Geometrie und Darstellungstheorie. (de)
- In mathematics, if G is a group and ρ is a linear representation of it on the vector space V, then the dual representation ρ* is defined over the dual vector space V* as follows: ρ*(g) is the transpose of ρ(g−1), that is, ρ*(g) = ρ(g−1)T for all g ∈ G. The dual representation is also known as the contragredient representation. If g is a Lie algebra and π is a representation of it on the vector space V, then the dual representation π* is defined over the dual vector space V* as follows: π*(X) = −π(X)T for all X ∈ g. The motivation for this definition is that Lie algebra representation associated to the dual of a Lie group representation is computed by the above formula. But the definition of the dual of a Lie algebra representation makes sense even if it does not come from a Lie group representation. In both cases, the dual representation is a representation in the usual sense. (en)
- En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel V, on définit sa représentation duale ou représentation contragrédiente ρ* sur le dual V* de V.
* Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ* est la représentation de G définie par :pour tout élément g de G, ρ*(g) est la transposée de ρ(g-1).
* Si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie , alors ρ* est la représentation de définie par :pour tout élément u de , ρ*(u) est la transposée de - ρ(u). Pour une (en), la représentation duale est équivalente à la représentation conjuguée. (fr)
- が群で、 がベクトル空間 上の の線型表現であるとき、反傾表現（はんけいひょうげん、英: contragredient representation）あるいは双対表現（そうついひょうげん、英: dual representation） は以下のようにして双対ベクトル空間 上定義される： は の転置である、つまり、すべての に対して である。 がリー環で がベクトル空間 上のその表現であれば、反傾表現 は以下のようにして双対ベクトル空間 上定義される： すべての に対して である。 いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。 ユニタリ表現に対しては、反傾表現はと等しい。 (ja)
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