The Ehrenfest model (or dog–flea model) of diffusion was proposed by Tatiana and Paul Ehrenfest to explain the second law of thermodynamics. The model considers N particles in two containers. Particles independently change container at a rate λ. If X(t) = i is defined to be the number of particles in one container at time t, then it is a birth–death process with transition rates
* for i = 1, 2, ..., N
* for i = 0, 1, ..., N – 1 and equilibrium distribution . Mark Kac proved in 1947 that if the initial system state is not equilibrium, then the entropy, given by
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| - Ehrenfest-Modell (de)
- Ehrenfest model (en)
- Modèle des urnes d'Ehrenfest (fr)
- Modello di Ehrenfest (it)
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| - Das Ehrenfest-Modell (auch als Ehrenfest-Kette bekannt) ist ein stochastisches Modell, das den Stoffaustausch zwischen zwei durch eine Membran getrennte Behältnisse beschreibt. Das Modell wurde zuerst durch den österreichischen Physiker Paul Ehrenfest (1880–1933) vorgeschlagen und ist einer von vielen Beiträgen der Physik zur Entwicklung der mathematischen Theorie der stochastischen Prozesse. (de)
- The Ehrenfest model (or dog–flea model) of diffusion was proposed by Tatiana and Paul Ehrenfest to explain the second law of thermodynamics. The model considers N particles in two containers. Particles independently change container at a rate λ. If X(t) = i is defined to be the number of particles in one container at time t, then it is a birth–death process with transition rates
* for i = 1, 2, ..., N
* for i = 0, 1, ..., N – 1 and equilibrium distribution . Mark Kac proved in 1947 that if the initial system state is not equilibrium, then the entropy, given by (en)
- Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des « paradoxes » apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante. Peu de temps en effet après que Boltzmann a publié son théorème H, des critiques virulentes furent formulées, notamment par Loschmidt, puis par Zermelo, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ». Ce modèle est parfois également appelé le « modèle des chiens et des puces ». Le mathématicien Mark Kac a écrit à son propos qu'il était : (fr)
- Il modello di Ehrenfest della diffusione fu proposto da Tatiana e Paul Ehrenfest per spiegare il secondo principio della termodinamica. È un esempio di catena di Markov. Il modello è costituito da particelle in due contenitori. Ad ogni istante una particella viene scelta a caso (ogni particella ha una probabilità di essere scelta) e spostata nell'altro contenitore. Sia la variabile aleatoria che rappresenta il numero di particelle in uno dei due contenitori al tempo . Il sistema evolve secondo la probabilità di transizione con La distribuzione di probabilità all'equilibrio è . (it)
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| - Das Ehrenfest-Modell (auch als Ehrenfest-Kette bekannt) ist ein stochastisches Modell, das den Stoffaustausch zwischen zwei durch eine Membran getrennte Behältnisse beschreibt. Das Modell wurde zuerst durch den österreichischen Physiker Paul Ehrenfest (1880–1933) vorgeschlagen und ist einer von vielen Beiträgen der Physik zur Entwicklung der mathematischen Theorie der stochastischen Prozesse. (de)
- The Ehrenfest model (or dog–flea model) of diffusion was proposed by Tatiana and Paul Ehrenfest to explain the second law of thermodynamics. The model considers N particles in two containers. Particles independently change container at a rate λ. If X(t) = i is defined to be the number of particles in one container at time t, then it is a birth–death process with transition rates
* for i = 1, 2, ..., N
* for i = 0, 1, ..., N – 1 and equilibrium distribution . Mark Kac proved in 1947 that if the initial system state is not equilibrium, then the entropy, given by is monotonically increasing (H-theorem). This is a consequence of the convergence to the equilibrium distribution. (en)
- Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des « paradoxes » apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante. Peu de temps en effet après que Boltzmann a publié son théorème H, des critiques virulentes furent formulées, notamment par Loschmidt, puis par Zermelo, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ». Ce modèle est parfois également appelé le « modèle des chiens et des puces ». Le mathématicien Mark Kac a écrit à son propos qu'il était : « ... probablement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique ... » (fr)
- Il modello di Ehrenfest della diffusione fu proposto da Tatiana e Paul Ehrenfest per spiegare il secondo principio della termodinamica. È un esempio di catena di Markov. Il modello è costituito da particelle in due contenitori. Ad ogni istante una particella viene scelta a caso (ogni particella ha una probabilità di essere scelta) e spostata nell'altro contenitore. Sia la variabile aleatoria che rappresenta il numero di particelle in uno dei due contenitori al tempo . Il sistema evolve secondo la probabilità di transizione con La distribuzione di probabilità all'equilibrio è . Corinna Ulcigrai e hanno dimostrato che il modello di Ehrenfest (windtree model) non è ergodico. (it)
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