The Fermi–Ulam model (FUM) is a dynamical system that was introduced by Polish mathematician Stanislaw Ulam in 1961. FUM is a variant of Enrico Fermi's primary work on acceleration of cosmic rays, namely Fermi acceleration. The system consists of a particle that collides elastically between a fixed wall and a moving one, each of infinite mass. The walls represent the magnetic mirrors with which the cosmic particles collide. A. J. Lichtenberg and M. A. Lieberman provided a simplified version of FUM (SFUM) that derives from the Poincaré surface of section and writes
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| - Modelo de Fermi-Ulam (es)
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| - The Fermi–Ulam model (FUM) is a dynamical system that was introduced by Polish mathematician Stanislaw Ulam in 1961. FUM is a variant of Enrico Fermi's primary work on acceleration of cosmic rays, namely Fermi acceleration. The system consists of a particle that collides elastically between a fixed wall and a moving one, each of infinite mass. The walls represent the magnetic mirrors with which the cosmic particles collide. A. J. Lichtenberg and M. A. Lieberman provided a simplified version of FUM (SFUM) that derives from the Poincaré surface of section and writes (en)
- El Modelo Fermi-Ulam (FUM, por sus siglas en inglés) es un sistema dinámico que fue introducido por el matemático polaco Stanislaw Ulam en 1961 FUM es una variante del trabajo primordial en aceleración de rayos cósmicos de Enrico Fermi. El sistema consiste en una partícula que colisiona elásticamente entre una pared fija y una pared móvil, cada una de masa infinita. Las paredes representan espejos magnéticos con el que las partículas cósmicas colisionan. Con el paso de los años, FUM se convirtió en un modelo prototipo para estudiar dinámica no lineal y mapeos acoplados. (es)
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| - El Modelo Fermi-Ulam (FUM, por sus siglas en inglés) es un sistema dinámico que fue introducido por el matemático polaco Stanislaw Ulam en 1961 FUM es una variante del trabajo primordial en aceleración de rayos cósmicos de Enrico Fermi. El sistema consiste en una partícula que colisiona elásticamente entre una pared fija y una pared móvil, cada una de masa infinita. Las paredes representan espejos magnéticos con el que las partículas cósmicas colisionan. A. J. Lichtenberg y M. A. Lieberman establecieron una versión simplificada de FUM (SFUM) que deriva a partir de una aplicación de Poincaré y dicta: Donde es la velocidad de la partícula después de la n-ésima colisión con la pared fija, es la fase correspondiente de la pared móvil, es la ley de velocidad para la pared móvil y es el parámetro de estocaticidad del sistema. Si la ley de velocidad de la pared móvil es lo suficientemente diferenciable, de acuerdo al teorema KAM existe curvas invariantes en el espacio de fases . Estas curvas invariantes actúan como barreras que no permiten a la partícula acelerar y la velocidad promedio de la población de partículas se satura luego de iteraciones finitas. Por lo tanto, para una ley de velocidad sinusoidal para la pared móvil estas curvas existen, mientras que no existe para una ley de velocidad en forma de sierra, que es discontinua. En consecuencia, en el primer caso las partículas no pueden acelerar infinitamente, mientras que lo contrario sucede en el otro caso. Con el paso de los años, FUM se convirtió en un modelo prototipo para estudiar dinámica no lineal y mapeos acoplados. La solución rigurosa del problema Fermi-Ulam (dónde la velocidad y la energía están acotadas) fue proporcionada por primera vez por L. D. Pustyl'nikov en (ver también y las referencias). Además de los resultados negativos, si uno considera el modelo Fermi-Ulam en el marco de la relatividad especial, bajo algunas condiciones generales de energía de las partículas, estas tienden a infinito para un conjunto abierto de datos iniciales. (es)
- The Fermi–Ulam model (FUM) is a dynamical system that was introduced by Polish mathematician Stanislaw Ulam in 1961. FUM is a variant of Enrico Fermi's primary work on acceleration of cosmic rays, namely Fermi acceleration. The system consists of a particle that collides elastically between a fixed wall and a moving one, each of infinite mass. The walls represent the magnetic mirrors with which the cosmic particles collide. A. J. Lichtenberg and M. A. Lieberman provided a simplified version of FUM (SFUM) that derives from the Poincaré surface of section and writes where is the velocity of the particle after the -th collision with the fixed wall, is the corresponding phase of the moving wall, is the velocity law of the moving wall and is the stochasticity parameter of the system. If the velocity law of the moving wall is differentiable enough, according to KAM theorem invariant curves in the phase space exist. These invariant curves act as barriers that do not allow for a particle to further accelerate and the average velocity of a population of particles saturates after finite iterations of the map. For instance, for sinusoidal velocity law of the moving wall such curves exist, while they do not for sawtooth velocity law that is discontinuous. Consequently, at the first case particles cannot accelerate infinitely, reversely to what happens at the last one. Over the years FUM became a prototype model for studying non-linear dynamics and coupled mappings. The rigorous solution of the Fermi-Ulam problem (the velocity and energy of the particle are bounded) was given first by L. D. Pustyl'nikov in (see also and references therein). In spite of these negative results, if one considers the Fermi–Ulam model in the framework of the special theory of relativity, then under some general conditions the energy of the particle tends to infinity for an open set of initial data. (en)
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