In mathematics, a GCD domain is an integral domain R with the property that any two elements have a greatest common divisor (GCD); i.e., there is a unique minimal principal ideal containing the ideal generated by two given elements. Equivalently, any two elements of R have a least common multiple (LCM). A GCD domain generalizes a unique factorization domain (UFD) to a non-Noetherian setting in the following sense: an integral domain is a UFD if and only if it is a GCD domain satisfying the ascending chain condition on principal ideals (and in particular if it is Noetherian).
| Attributes | Values |
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| rdfs:label
| - GCD domain (en)
- Anneau à PGCD (fr)
- GCD整域 (ja)
- GCD環 (zh)
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| rdfs:comment
| - En algèbre commutative, un anneau à PGCD, ou plus rarement anneau de Gauss, est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout couple d'éléments non nuls possède un plus grand diviseur commun. Dans un anneau quelconque, l'existence d'un tel PGCD n'est pas toujours acquise. Les anneaux intègres à PGCD représentent une classe d'anneaux aux propriétés arithmétiques intéressantes à tel point qu'il est fréquent que les anneaux à PGCD ne soient étudiés que dans les anneaux intègres. (fr)
- GCD環是一種有特殊性質的整环R，滿足其中任二個非零的元素都有最大公因數（GCD），或者等價的，都有最小公倍數（LCM）。 GCD環是將唯一分解整環推廣到非諾特環的情況，事實上，一個整環是唯一分解整環若且惟若其為滿足的GCD環。 (zh)
- In mathematics, a GCD domain is an integral domain R with the property that any two elements have a greatest common divisor (GCD); i.e., there is a unique minimal principal ideal containing the ideal generated by two given elements. Equivalently, any two elements of R have a least common multiple (LCM). A GCD domain generalizes a unique factorization domain (UFD) to a non-Noetherian setting in the following sense: an integral domain is a UFD if and only if it is a GCD domain satisfying the ascending chain condition on principal ideals (and in particular if it is Noetherian). (en)
- 数学の代数学における GCD整域（GCDせいいき、英: GCD domain）は、整域 R であって任意のふたつの非零元が最大公約元 (GCD) をもつという性質をもつものである。これは R の任意のふたつの非零元が最小公倍元 (LCM) をもつといってもよい。 この文脈において、（「最大」とは言いながら）一般にGCDは唯一でないことに注意すべきである。しかし、任意の二元 a, b に対しそのGCDは、どの二つも互いに同伴、したがって単元を掛ける違いを除いて一意に決まるから、GCDの任意の一つを指す意味で gcd(a, b) と書くことに誤解の虞はないであろう。一方、二元のGCD集合を GCD(a, b) ≔ {c ∈ R | c は a と b との GCD} として定義するならば、gcd(a, b) ∈ GCD(a, b) であり、また GCD(0, 0) = {0} や GCD(1, a) = U(R)（R の単元群）などが成り立つ。 LCMについても同様。 GCD整域は一意分解整域 (UFD) を次のような意味で非ネーターの場合に一般化する: 命題整域が UFD であることと、主イデアルについての昇鎖条件を満たすGCD整域であることは同値である。 とくに、ネーター的GCD整域はUFDである。 環のクラスの包含関係に関してGCD整域は以下のような位置にある: (ja)
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| - In mathematics, a GCD domain is an integral domain R with the property that any two elements have a greatest common divisor (GCD); i.e., there is a unique minimal principal ideal containing the ideal generated by two given elements. Equivalently, any two elements of R have a least common multiple (LCM). A GCD domain generalizes a unique factorization domain (UFD) to a non-Noetherian setting in the following sense: an integral domain is a UFD if and only if it is a GCD domain satisfying the ascending chain condition on principal ideals (and in particular if it is Noetherian). GCD domains appear in the following chain of class inclusions: rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields (en)
- En algèbre commutative, un anneau à PGCD, ou plus rarement anneau de Gauss, est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout couple d'éléments non nuls possède un plus grand diviseur commun. Dans un anneau quelconque, l'existence d'un tel PGCD n'est pas toujours acquise. Les anneaux intègres à PGCD représentent une classe d'anneaux aux propriétés arithmétiques intéressantes à tel point qu'il est fréquent que les anneaux à PGCD ne soient étudiés que dans les anneaux intègres. (fr)
- 数学の代数学における GCD整域（GCDせいいき、英: GCD domain）は、整域 R であって任意のふたつの非零元が最大公約元 (GCD) をもつという性質をもつものである。これは R の任意のふたつの非零元が最小公倍元 (LCM) をもつといってもよい。 この文脈において、（「最大」とは言いながら）一般にGCDは唯一でないことに注意すべきである。しかし、任意の二元 a, b に対しそのGCDは、どの二つも互いに同伴、したがって単元を掛ける違いを除いて一意に決まるから、GCDの任意の一つを指す意味で gcd(a, b) と書くことに誤解の虞はないであろう。一方、二元のGCD集合を GCD(a, b) ≔ {c ∈ R | c は a と b との GCD} として定義するならば、gcd(a, b) ∈ GCD(a, b) であり、また GCD(0, 0) = {0} や GCD(1, a) = U(R)（R の単元群）などが成り立つ。 LCMについても同様。 GCD整域は一意分解整域 (UFD) を次のような意味で非ネーターの場合に一般化する: 命題整域が UFD であることと、主イデアルについての昇鎖条件を満たすGCD整域であることは同値である。 とくに、ネーター的GCD整域はUFDである。 環のクラスの包含関係に関してGCD整域は以下のような位置にある: 可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ GCD整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 可換体 ⊃ 有限体 (ja)
- GCD環是一種有特殊性質的整环R，滿足其中任二個非零的元素都有最大公因數（GCD），或者等價的，都有最小公倍數（LCM）。 GCD環是將唯一分解整環推廣到非諾特環的情況，事實上，一個整環是唯一分解整環若且惟若其為滿足的GCD環。 (zh)
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