In the mathematical field of set theory, a generic filter is a kind of object used in the theory of forcing, a technique used for many purposes, but especially to establish the independence of certain propositions from certain formal theories, such as ZFC. For example, Paul Cohen used forcing to establish that ZFC, if consistent, cannot prove the continuum hypothesis, which states that there are exactly aleph-one real numbers. In the contemporary re-interpretation of Cohen's proof, it proceeds by constructing a generic filter that codes more than reals, without changing the value of .
| Attributes | Values |
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| rdfs:label
| - Generic filter (en)
- ジェネリックフィルター (ja)
- 포괄적 필터 (ko)
- Загальний фільтр (uk)
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| rdfs:comment
| - 순서론에서 포괄적 필터(包括的filter, 영어: generic filter)는 모든 공시작 집합과 겹치는 필터이다. 이 개념은 강제법에 응용된다. (ko)
- Загальний фільтр — в теорії множин, вид фільтра, який використовується в техніці для доведення незалежності тверджень в аксіоматичних теоріях множин. Першу версію форсінга використав Пол Коен для доведення незалежності континум гіпотези від ZFC. Використаємо, що: Підмножина E частково впорядкованої множини (P, ≤) називається щільною, якщо: Визначення: Тоді, якщо D є сімейством щільних підмножин P, фільтр F в P називається D-загальним, якщо:. (uk)
- In the mathematical field of set theory, a generic filter is a kind of object used in the theory of forcing, a technique used for many purposes, but especially to establish the independence of certain propositions from certain formal theories, such as ZFC. For example, Paul Cohen used forcing to establish that ZFC, if consistent, cannot prove the continuum hypothesis, which states that there are exactly aleph-one real numbers. In the contemporary re-interpretation of Cohen's proof, it proceeds by constructing a generic filter that codes more than reals, without changing the value of . (en)
- 数学の集合論における、ジェネリックフィルターとは、強制法の理論で使われる対象の一種で、そのテクニックはいろんな目的に使われるが、特に、何かしらの命題のZFCのような形式的な理論からの独立性を示すのに使われる。 例えば、ポール・コーエンはZFCが無矛盾であれば連続体仮説(実数全体の集合の濃度が である)を証明することができないということを示すのに使った。コーエンの証明は、 の値を変えることなしに、 より多くの実数を生成するジェネリックフィルターを構成することによって為された。 形式的には、P を半順序として、F を P 上のフィルターとする。すなわち、F は P の部分集合で、 1.
* F は空でない 2.
* p,q∈P で、 p≤q で、 p が F の要素なら、q もF の要素(F は上に閉じている) 3.
* p と q が Fの要素なら、Fの要素rで、r≤p かつ r≤q となるものが存在する。(F の任意の二要素は両立 する。) を満たす。 D を P の稠密部分集合の族とする。フィルターF が D-ジェネリック であるとは、F が Dの要素の全てと交わりを持つこと、すなわち、 for all E ∈ D となることである。 for all D ∈ M となることである。 (ja)
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| - In the mathematical field of set theory, a generic filter is a kind of object used in the theory of forcing, a technique used for many purposes, but especially to establish the independence of certain propositions from certain formal theories, such as ZFC. For example, Paul Cohen used forcing to establish that ZFC, if consistent, cannot prove the continuum hypothesis, which states that there are exactly aleph-one real numbers. In the contemporary re-interpretation of Cohen's proof, it proceeds by constructing a generic filter that codes more than reals, without changing the value of . Formally, let P be a partially ordered set, and let F be a filter on P; that is, F is a subset of P such that: 1.
* F is nonempty 2.
* If p, q ∈ P and p ≤ q and p is an element of F, then q is an element of F (F is closed upward) 3.
* If p and q are elements of F, then there is an element r of F such that r ≤ p and r ≤ q (F is downward directed) Now if D is a collection of dense open subsets of P, in the topology whose basic open sets are all sets of the form {q | q ≤ p} for particular p in P, then F is said to be D-generic if F meets all sets in D; that is, for all E ∈ D. Similarly, if M is a transitive model of ZFC (or some sufficient fragment thereof), with P an element of M, then F is said to be M-generic, or sometimes generic over M, if F meets all dense open subsets of P that are elements of M. (en)
- 数学の集合論における、ジェネリックフィルターとは、強制法の理論で使われる対象の一種で、そのテクニックはいろんな目的に使われるが、特に、何かしらの命題のZFCのような形式的な理論からの独立性を示すのに使われる。 例えば、ポール・コーエンはZFCが無矛盾であれば連続体仮説(実数全体の集合の濃度が である)を証明することができないということを示すのに使った。コーエンの証明は、 の値を変えることなしに、 より多くの実数を生成するジェネリックフィルターを構成することによって為された。 形式的には、P を半順序として、F を P 上のフィルターとする。すなわち、F は P の部分集合で、 1.
* F は空でない 2.
* p,q∈P で、 p≤q で、 p が F の要素なら、q もF の要素(F は上に閉じている) 3.
* p と q が Fの要素なら、Fの要素rで、r≤p かつ r≤q となるものが存在する。(F の任意の二要素は両立 する。) を満たす。 D を P の稠密部分集合の族とする。フィルターF が D-ジェネリック であるとは、F が Dの要素の全てと交わりを持つこと、すなわち、 for all E ∈ D となることである。 同様に、M がZFCの推移モデル(または、十分なフラグメント)で、P が M の要素であるとき、F が M上ジェネリックであるとは、D を P の稠密開部分集合とすると、 for all D ∈ M となることである。 (ja)
- 순서론에서 포괄적 필터(包括的filter, 영어: generic filter)는 모든 공시작 집합과 겹치는 필터이다. 이 개념은 강제법에 응용된다. (ko)
- Загальний фільтр — в теорії множин, вид фільтра, який використовується в техніці для доведення незалежності тверджень в аксіоматичних теоріях множин. Першу версію форсінга використав Пол Коен для доведення незалежності континум гіпотези від ZFC. Використаємо, що: Підмножина E частково впорядкованої множини (P, ≤) називається щільною, якщо: Визначення: Тоді, якщо D є сімейством щільних підмножин P, фільтр F в P називається D-загальним, якщо:. (uk)
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