The Gross–Pitaevskii equation (GPE, named after Eugene P. Gross and Lev Petrovich Pitaevskii) describes the ground state of a quantum system of identical bosons using the Hartree–Fock approximation and the pseudopotential interaction model. The variational method shows that if the single-particle wavefunction satisfies the following Gross–Pitaevskii equation the total wave-function minimizes the expectation value of the model Hamiltonian under normalization condition Therefore, such single-particle wavefunction describes the ground state of the system.
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| - Gross-Pitaevskii-Gleichung (de)
- Ecuación de Gross-Pitaevskii (es)
- Gross–Pitaevskii equation (en)
- Equazione di Gross-Pitaevskij (it)
- Équation de Gross-Pitaevskii (fr)
- グロス＝ピタエフスキー方程式 (ja)
- 그로스-피타옙스키 방정식 (ko)
- Równanie Grossa-Pitajewskiego (pl)
- Уравнение Гросса — Питаевского (ru)
- 格罗斯–皮塔耶夫斯基方程 (zh)
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| - L’équation de Gross–Pitaevskii est l'équation qui régit l'état et la dynamique d'un gaz de bosons ultra-froids (condensat de Bose-Einstein) sous l'approximation d'Hartree. Sa forme indépendante du temps s'écrit : , où est la fonction d'onde à une particule, la masse d'une particule, la constante de Planck réduite, le potentiel chimique, et une constante dépendante de la longueur de diffusion du potentiel d'interaction. Elle porte le nom des physiciens Eugene Gross et (en). (fr)
- In meccanica statistica e in fisica della materia condensata, l'equazione di Gross-Pitaevskij (GPE, dal nome di e Lev Petrovič Pitaevskij) descrive lo stato fondamentale di un sistema quantistico di bosoni identici, utilizzando l'approssimazione di Hartree-Fock e un modello di interazione a potenziale effettivo. (it)
- 응집물질물리학에서 그로스-피타옙스키 방정식(Gross-Питаевский方程式, 영어: Gross–Pitaevskii equation)은 여러 개의 비상대론적인 보손의 상호작용을 나타내는 운동 방정식이다. 슈뢰딩거 방정식의 비선형 변형이다. (ko)
- Równanie Grossa-Pitajewskiego – nieliniowe równanie modelowe na funkcję falową kondensatu Bosego-Einsteina. Ma formę podobną do równania Ginzburga-Landaua. Kondensat Bosego-Einsteina (BEC) jest jednakowych gazem bozonów, które okupują jeden stan kwantowy, który w przybliżeniu może być przedstawiony w postaci iloczynu funkcji falowych poszczególnych cząstek, które są takie same. Każda z cząstek jest opisywana przez jednocząstkowe równanie Schrödingera. Oddziaływania między cząstkami w gazie rzeczywistym są opisywane przez ogólne wielocząstkowe równanie Schrödingera. Jeśli jednak gaz jest rzadki, można założyć, że cząstki oddziałują ze sobą, tylko gdy są w tym samym miejscu, co wraz z formalizmem drugiej kwantyzacji prowadzi do równania Grossa-Pitajewskiego. (pl)
- Уравнение Гросса — Питаевского было получено Е. П. Гроссом и Л. П. Питаевским в 1961 году в рамках теории неидеального бозе-газа. Уравнение находит применение при описании газов в ловушках. Также уравнение имеет применение в связи с проблемой вихревой нити в газе. (ru)
- 格罗斯–皮塔耶夫斯基方程（Gross–Pitaevskii 方程，以命名与) 描述了全同玻色子量子体系的基态，其中使用了哈特里－福克近似与赝势相互作用模型。 在哈特里－福克近似中，个玻色子体系的总波函数为单粒子波函数之积 其中为第个玻色子的坐标。 赝势模型下的哈密顿量为 其中为玻色子质量，为外势场，为玻色子-玻色子散射长度，为狄拉克δ函数。 如果单粒子波函数满足格罗斯–皮塔耶夫斯基方程， 则总波函数在归一化条件下可以使赝势模型哈密顿量的总能量最小。 格罗斯–皮塔耶夫斯基方程是描述玻色-爱因斯坦凝聚单粒子波函数的模型方程。它有类似金兹堡－朗道方程的形式，也会被称为. 玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 是处于同一量子态的玻色气体可以由同一个波函数进行描述。单个粒子可有单粒子波函数描述。真实气体中粒子相互作用包含在相应的多体薛定谔方程当中。当气体中粒子间距大于散射长度（即所谓的稀薄极限）时，真实的相互作用势就可以被替换为赝势。格罗斯–皮塔耶夫斯基方程的非线性来源于粒子间的相互作用。当把方程中相互作用的耦合常数设为零时，非线性消失，方程以描述单粒子在势阱中的单粒子薛定谔方程的形式出现。 (zh)
- The Gross–Pitaevskii equation (GPE, named after Eugene P. Gross and Lev Petrovich Pitaevskii) describes the ground state of a quantum system of identical bosons using the Hartree–Fock approximation and the pseudopotential interaction model. The variational method shows that if the single-particle wavefunction satisfies the following Gross–Pitaevskii equation the total wave-function minimizes the expectation value of the model Hamiltonian under normalization condition Therefore, such single-particle wavefunction describes the ground state of the system. (en)
- Die Gross-Pitaevskii-Gleichung (nach Eugene P. Gross und Lew Petrowitsch Pitajewski) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Kondensats eines quantenmechanischen Vielteilchensystems in einem externen Potential : Die Funktion ist der Ordnungsparameter des Phasenübergangs. Der Parameter beschreibt, ob die Wechselwirkung anziehend oder abstoßend ist. (de)
- La ecuación de Gross–Pitaevskii (nombre de y ) describe el estado base de un sistema cuántico de bosones idénticos utilizando la aproximación de Hartree–Fock y el modelo de interacción pseudopotencial. En la aproximación de Hartree-Fock la función de onda total del sistema de bosones es tomada como un producto de funciones de una sola partícula , donde es la coordenada del -ésimo bosón. El del sistema es dado como donde es la masa del bosón, es el potencial externo, es la longitud de dispersión bosón-bosón, y es la función delta de Dirac. Si la satisface la ecuación de Gross-Pitaevski (es)
- グロス＝ピタエフスキー方程式（グロス＝ピタエフスキーほうていしき、英: Gross–Pitaevskii equation; GPE）は、ボソン間相互作用が擬ポテンシャルとして表される理想的なボソン多体系の、ハートリー＝フォック近似の下での基底状態を記述するモデルである。 グロス＝ピタエフスキー方程式の名前は、とに因む。グロス＝ピタエフスキー方程式は、グロスおよびピタエフスキーの頭文字を取ってしばしばGP方程式と呼ばれる。あるいは更に短縮してGPと呼ぶこともある。 ハートリー＝フォック近似において N 体のボソン系全体を表す波動関数 Ψ は、個々のボソンに対応する波動関数たち {ψi}i ∈ [N] の積状態として表すことができる。 ここで ri は i 番目のボソンの位置を表す。 擬ポテンシャルモデルのハミルトニアン H として以下のものを考える。 m はボソンの質量、V(ri) は外場によるポテンシャル、as はボソン-ボソン散乱長 (boson-boson scattering length) を表す。また δ(·) はデルタ関数である。一粒子波動関数がグロス＝ピタエフスキー方程式 を満たす場合、規格化条件 の下で、全系の波動関数はハミルトニアンの期待値を最小化する。 (ja)
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| - Die Gross-Pitaevskii-Gleichung (nach Eugene P. Gross und Lew Petrowitsch Pitajewski) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Kondensats eines quantenmechanischen Vielteilchensystems in einem externen Potential : Die Funktion ist der Ordnungsparameter des Phasenübergangs. Der Parameter beschreibt, ob die Wechselwirkung anziehend oder abstoßend ist. Die Gross-Pitaevskii-Gleichung spielt eine wichtige Rolle bei der theoretischen Behandlung von bosonischen Quantenflüssigkeiten wie Bose-Einstein-Kondensaten (BEC), Supraleitern und Supraflüssigkeiten. Sie beinhaltet unter anderem solitäre Lösungen (nichtlineare Wellen) und Vortices (quantisierte Wirbel). Sie entspricht einer Molekularfeldnäherung mit der Wechselwirkung mit dem mittleren Feld der übrigen Bosonen im nichtlinearen Term. Berücksichtigt man auch elektrisch geladene Teilchen (Ladung , Vektorpotential ), so muss man den Impulsoperator ersetzen: . In diesem Fall wird aus der Gross-Pitaevskii-Gleichung die Ginzburg-Landau-Gleichung, die der phänomenologischen Beschreibung von Supraleitern dient. (de)
- La ecuación de Gross–Pitaevskii (nombre de y ) describe el estado base de un sistema cuántico de bosones idénticos utilizando la aproximación de Hartree–Fock y el modelo de interacción pseudopotencial. En la aproximación de Hartree-Fock la función de onda total del sistema de bosones es tomada como un producto de funciones de una sola partícula , donde es la coordenada del -ésimo bosón. El del sistema es dado como donde es la masa del bosón, es el potencial externo, es la longitud de dispersión bosón-bosón, y es la función delta de Dirac. Si la satisface la ecuación de Gross-Pitaevski la minimiza el valor de expectación del bajo condición de normalización . Es una ecuación modelo, para la función de onda de partícula en un condensado de Bose-Einstein. Es similar en forma a la y a veces se conoce como la ecuación de Schrödinger no lineal. Un condensado de Bose-Einstein (CBE) es un gas de bosones que están en el mismo estado cuántico y por lo tanto puede ser descrito por la misma onda. Una es descrita por una sola ecuación de Schrödinger. La interacción entre las partículas de un gas real, se tiene en cuenta por una ecuación de Schrödinger pertinente de muchos cuerpos. Si el espacio promedio entre las partículas de un gas es mayor que la longitud de dispersión (es decir, en el llamado ), entonces uno puede aproximarse a la verdadera interacción potencial que presenta en esta ecuación por un pseudopotencial. La no linealidad de la ecuación de Gross–Pitaevskii tiene su origen en la interacción entre las partículas. Esto se hace evidente al igualar con cero la constante de acoplamiento de la interacción en la ecuación de Gross–Pitaevskii (véase la sección siguiente), en la que se recupera la ecuación de Schrödinger de una sola partícula, describiendo una partícula dentro de un potencial de confinamiento. (es)
- The Gross–Pitaevskii equation (GPE, named after Eugene P. Gross and Lev Petrovich Pitaevskii) describes the ground state of a quantum system of identical bosons using the Hartree–Fock approximation and the pseudopotential interaction model. A Bose–Einstein condensate (BEC) is a gas of bosons that are in the same quantum state, and thus can be described by the same wavefunction. A free quantum particle is described by a single-particle Schrödinger equation. Interaction between particles in a real gas is taken into account by a pertinent many-body Schrödinger equation. In the Hartree–Fock approximation, the total wave-function of the system of bosons is taken as a product of single-particle functions : where is the coordinate of the -th boson. If the average spacing between the particles in a gas is greater than the scattering length (that is, in the so-called dilute limit), then one can approximate the true interaction potential that features in this equation by a pseudopotential. At sufficiently low temperature, where the de Broglie wavelength is much longer than the range of boson–boson interaction, the scattering process can be well approximated by the s-wave scattering (i.e. in the partial-wave analysis, a.k.a. the hard-sphere potential) term alone. In that case, the pseudopotential model Hamiltonian of the system can be written aswhere is the mass of the boson, is the external potential, is the boson–boson s-wave scattering length, and is the Dirac delta-function. The variational method shows that if the single-particle wavefunction satisfies the following Gross–Pitaevskii equation the total wave-function minimizes the expectation value of the model Hamiltonian under normalization condition Therefore, such single-particle wavefunction describes the ground state of the system. GPE is a model equation for the ground-state single-particle wavefunction in a Bose–Einstein condensate. It is similar in form to the Ginzburg–Landau equation and is sometimes referred to as the "nonlinear Schrödinger equation". The non-linearity of the Gross–Pitaevskii equation has its origin in the interaction between the particles: setting the coupling constant of interaction in the Gross–Pitaevskii equation to zero (see the following section) recovers the single-particle Schrödinger equation describing a particle inside a trapping potential. The Gross-Pitaevskii equation is said to be limited to the weakly interacting regime. Nevertheless, it may also fail to reproduce interesting phenomena even within this regime. In order to study the BEC beyond that limit of weak interactions, one needs to implement the Lee-Huang-Yang (LHY) correction. Alternatively, in 1D systems one can use either an exact approach, namely the Lieb-Liniger model, or an extended equation, e.g. the Lieb-Liniger Gross-Pitaevskii equation (sometimes called modified or generalized nonlinear Schrödinger equation). (en)
- L’équation de Gross–Pitaevskii est l'équation qui régit l'état et la dynamique d'un gaz de bosons ultra-froids (condensat de Bose-Einstein) sous l'approximation d'Hartree. Sa forme indépendante du temps s'écrit : , où est la fonction d'onde à une particule, la masse d'une particule, la constante de Planck réduite, le potentiel chimique, et une constante dépendante de la longueur de diffusion du potentiel d'interaction. Elle porte le nom des physiciens Eugene Gross et (en). (fr)
- In meccanica statistica e in fisica della materia condensata, l'equazione di Gross-Pitaevskij (GPE, dal nome di e Lev Petrovič Pitaevskij) descrive lo stato fondamentale di un sistema quantistico di bosoni identici, utilizzando l'approssimazione di Hartree-Fock e un modello di interazione a potenziale effettivo. (it)
- 응집물질물리학에서 그로스-피타옙스키 방정식(Gross-Питаевский方程式, 영어: Gross–Pitaevskii equation)은 여러 개의 비상대론적인 보손의 상호작용을 나타내는 운동 방정식이다. 슈뢰딩거 방정식의 비선형 변형이다. (ko)
- グロス＝ピタエフスキー方程式（グロス＝ピタエフスキーほうていしき、英: Gross–Pitaevskii equation; GPE）は、ボソン間相互作用が擬ポテンシャルとして表される理想的なボソン多体系の、ハートリー＝フォック近似の下での基底状態を記述するモデルである。 グロス＝ピタエフスキー方程式の名前は、とに因む。グロス＝ピタエフスキー方程式は、グロスおよびピタエフスキーの頭文字を取ってしばしばGP方程式と呼ばれる。あるいは更に短縮してGPと呼ぶこともある。 ハートリー＝フォック近似において N 体のボソン系全体を表す波動関数 Ψ は、個々のボソンに対応する波動関数たち {ψi}i ∈ [N] の積状態として表すことができる。 ここで ri は i 番目のボソンの位置を表す。 擬ポテンシャルモデルのハミルトニアン H として以下のものを考える。 m はボソンの質量、V(ri) は外場によるポテンシャル、as はボソン-ボソン散乱長 (boson-boson scattering length) を表す。また δ(·) はデルタ関数である。一粒子波動関数がグロス＝ピタエフスキー方程式 を満たす場合、規格化条件 の下で、全系の波動関数はハミルトニアンの期待値を最小化する。 上記の方程式はボース＝アインシュタイン凝縮体の一粒子波動関数に対するモデル方程式となっている。グロス＝ピタエフスキー方程式はギンツブルグ＝ランダウ方程式と似た形をしており、また非線形シュレーディンガー方程式として言及されることも多い。 ボース＝アインシュタイン凝縮体とは、すべてのボソンが同じ量子状態をとり、従ってすべてのボソンが同じ波動関数によって記述されるようなボソン気体である。自由粒子の運動は一粒子のシュレーディンガー方程式によって記述できる。一方で実在気体に関して、粒子間の相互作用は適当な多体のシュレーディンガー方程式を扱う必要がある。気体粒子間の平均距離が散乱長より大きい場合（このような状況を希薄極限 (dilute limit) と呼ぶ）、粒子間の相互作用ポテンシャルを近似することができ、グロス＝ピタエフスキー方程式においては擬ポテンシャルで置き換えられる。 グロス＝ピタエフスキー方程式の非線形性は粒子間相互作用に起源を持つ。粒子間相互作用とグロス＝ピタエフスキー方程式の非線形性との関係は、グロス＝ピタエフスキー方程式の相互作用結合定数をゼロへ持って行くことで明らかになる（詳細は）：結合定数の影響を無視できるなら、グロス＝ピタエフスキー方程式はトラップポテンシャルに束縛される粒子の一粒子シュレーディンガー方程式へと回帰する。 (ja)
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