The Hasse–Minkowski theorem is a fundamental result in number theory which states that two quadratic forms over a number field are equivalent if and only if they are equivalent locally at all places, i.e. equivalent over every completion of the field (which may be real, complex, or p-adic). A related result is that a quadratic space over a number field is isotropic if and only if it is isotropic locally everywhere, or equivalently, that a quadratic form over a number field nontrivially represents zero if and only if this holds for all completions of the field. The theorem was proved in the case of the field of rational numbers by Hermann Minkowski and generalized to number fields by Helmut Hasse. The same statement holds even more generally for all global fields.
| Attributes | Values |
|---|
| rdf:type
| |
| rdfs:label
| - Hasse–Minkowski theorem (en)
- ハッセ・ミンコフスキーの定理 (ja)
- 하세-민코프스키 정리 (ko)
- Stelling van Hasse-Minkowski (nl)
- Теорема Минковского — Хассе (ru)
|
| rdfs:comment
| - The Hasse–Minkowski theorem is a fundamental result in number theory which states that two quadratic forms over a number field are equivalent if and only if they are equivalent locally at all places, i.e. equivalent over every completion of the field (which may be real, complex, or p-adic). A related result is that a quadratic space over a number field is isotropic if and only if it is isotropic locally everywhere, or equivalently, that a quadratic form over a number field nontrivially represents zero if and only if this holds for all completions of the field. The theorem was proved in the case of the field of rational numbers by Hermann Minkowski and generalized to number fields by Helmut Hasse. The same statement holds even more generally for all global fields. (en)
- 수론에서 하세-민코프스키 정리(영어: Hasse–Minkowski theorem)는 수체에 대한 이차 형식의 동치에 대한 정리다. 이 정리에 따르면, 수체에 대한 두 이차형식이 모든 곳에서 국소적으로 동치이면 대역적으로도 동치이다. 이는 수론에서의 (local–global principle)의 대표적인 예이다. (ko)
- ハッセ・ミンコフスキーの定理（ハッセ・ミンコフスキーのていり、英語: Hasse–Minkowski theorem）は数論における基本的な結果であり，数体上の2つの二次形式が同値であるための必要十分条件は，すべての座で局所的に同値であること，つまり体（実数体，複素数体，p 進数体など）のすべての完備化上同値であることを述べている．特別な場合として，数体上の二次空間が等方的であることとそれがいたるところ等方的であることは同値である，あるいは同じことであるが，数体上の二次形式が非自明に 0 を表すことと，これがその体のすべての完備化に対して成り立つことは同値である．定理は有理数体の場合にヘルマン・ミンコフスキーによって証明され，ヘルムート・ハッセによって数体に一般化された．同じ主張はさらに一般にすべての大域体に対しても成り立つ． (ja)
- In de wiskunde stelt de stelling van Hasse–Minkowski dat een kwadratische vorm globaal is dan en slechts dan als als deze kwadratische vorm overal lokaal isotroop is; dit is het klassieke . Isotropisch zijn betekent hier dat er enige niet-nulzijde vector bestaat waarvoor de kwadratische vorm nul oplevert als waarde. Globaal isotropisch betekent hier dat er een globaal veld is dat wil zeggen of een getallenlichaam of een of een eindig veld, waarover de kwadratische vorm is gedefinieerd en isotropisch is. Lokaal isotropisch betekent dat voor elke completion zowel de Archimedische als de kwadratische vorm isotropisch is. (nl)
- Теорема Минковского — Хассе — классический результат теории чисел, дающий полную классификацию квадратичных форм над числовым полем:две квадратичные формы над числовым полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны над каждым пополнением (вещественным, комплексным или р-адическим). В случае поля рациональных чисел теорема доказана Минковскими обобщена на числовые поля Хассе. (ru)
|
| foaf:depiction
| |
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| Link from a Wikipage to an external page
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| thumbnail
| |
| alt
| - The real number line (en)
- The 2-adic integers. Showing all of the 2-adic rationals would include an infinite sequence of clumps moving to the left of the figure. (en)
|
| direction
| |
| footer
| - Two completions of the rational numbers, the dyadic numbers and the real numbers. The Hasse-Minkowski theorem gives a relationship between quadratic forms in a number field and in the completions of the number field. (en)
|
| image
| |
| width
| |
| has abstract
| - The Hasse–Minkowski theorem is a fundamental result in number theory which states that two quadratic forms over a number field are equivalent if and only if they are equivalent locally at all places, i.e. equivalent over every completion of the field (which may be real, complex, or p-adic). A related result is that a quadratic space over a number field is isotropic if and only if it is isotropic locally everywhere, or equivalently, that a quadratic form over a number field nontrivially represents zero if and only if this holds for all completions of the field. The theorem was proved in the case of the field of rational numbers by Hermann Minkowski and generalized to number fields by Helmut Hasse. The same statement holds even more generally for all global fields. (en)
- 수론에서 하세-민코프스키 정리(영어: Hasse–Minkowski theorem)는 수체에 대한 이차 형식의 동치에 대한 정리다. 이 정리에 따르면, 수체에 대한 두 이차형식이 모든 곳에서 국소적으로 동치이면 대역적으로도 동치이다. 이는 수론에서의 (local–global principle)의 대표적인 예이다. (ko)
- ハッセ・ミンコフスキーの定理（ハッセ・ミンコフスキーのていり、英語: Hasse–Minkowski theorem）は数論における基本的な結果であり，数体上の2つの二次形式が同値であるための必要十分条件は，すべての座で局所的に同値であること，つまり体（実数体，複素数体，p 進数体など）のすべての完備化上同値であることを述べている．特別な場合として，数体上の二次空間が等方的であることとそれがいたるところ等方的であることは同値である，あるいは同じことであるが，数体上の二次形式が非自明に 0 を表すことと，これがその体のすべての完備化に対して成り立つことは同値である．定理は有理数体の場合にヘルマン・ミンコフスキーによって証明され，ヘルムート・ハッセによって数体に一般化された．同じ主張はさらに一般にすべての大域体に対しても成り立つ． (ja)
- In de wiskunde stelt de stelling van Hasse–Minkowski dat een kwadratische vorm globaal is dan en slechts dan als als deze kwadratische vorm overal lokaal isotroop is; dit is het klassieke . Isotropisch zijn betekent hier dat er enige niet-nulzijde vector bestaat waarvoor de kwadratische vorm nul oplevert als waarde. Globaal isotropisch betekent hier dat er een globaal veld is dat wil zeggen of een getallenlichaam of een of een eindig veld, waarover de kwadratische vorm is gedefinieerd en isotropisch is. Lokaal isotropisch betekent dat voor elke completion zowel de Archimedische als de kwadratische vorm isotropisch is. De stelling werd bewezen als een speciaal geval van de rationele getallen door Hermann Minkowski en werd door Helmut Hasse veralgemeend naar globale velden. (nl)
- Теорема Минковского — Хассе — классический результат теории чисел, дающий полную классификацию квадратичных форм над числовым полем:две квадратичные формы над числовым полем эквивалентны тогда и только тогда, когда они эквивалентны над каждым пополнением (вещественным, комплексным или р-адическим). Результат сводит проблему классификации неособых квадратичных форм над числовым полем с точностью до эквивалентности к набору аналогичных задач над локальными полями.Эти задачи гораздо проще — полные инварианты могут быть явно посчитаны.Эти инварианты должны удовлетворять некоторым условиям совместимости, которые также выражаются явно.Для каждого набора инвариантов, удовлетворяющих этим отношениям, есть квадратичная форма. В случае поля рациональных чисел теорема доказана Минковскими обобщена на числовые поля Хассе. (ru)
|
| gold:hypernym
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)
