In homological algebra in mathematics, the homotopy category K(A) of chain complexes in an additive category A is a framework for working with chain homotopies and homotopy equivalences. It lies intermediate between the category of chain complexes Kom(A) of A and the derived category D(A) of A when A is abelian; unlike the former it is a triangulated category, and unlike the latter its formation does not require that A is abelian. Philosophically, while D(A) turns into isomorphisms any maps of complexes that are quasi-isomorphisms in Kom(A), K(A) does so only for those that are quasi-isomorphisms for a "good reason", namely actually having an inverse up to homotopy equivalence. Thus, K(A) is more understandable than D(A).
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| - Kettenhomotopie (de)
- Catégorie homotopique des complexes de chaînes (fr)
- Homotopy category of chain complexes (en)
- Цепная гомотопия (ru)
- Ланцюгова гомотопія (uk)
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| - Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Kettenhomotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie. (de)
- In homological algebra in mathematics, the homotopy category K(A) of chain complexes in an additive category A is a framework for working with chain homotopies and homotopy equivalences. It lies intermediate between the category of chain complexes Kom(A) of A and the derived category D(A) of A when A is abelian; unlike the former it is a triangulated category, and unlike the latter its formation does not require that A is abelian. Philosophically, while D(A) turns into isomorphisms any maps of complexes that are quasi-isomorphisms in Kom(A), K(A) does so only for those that are quasi-isomorphisms for a "good reason", namely actually having an inverse up to homotopy equivalence. Thus, K(A) is more understandable than D(A). (en)
- Ланцюгова гомотопія — варіація поняття «гомотопія» в алгебраїчній топології і гомологічній алгебрі. (uk)
- Цепна́я гомото́пия — вариация понятия «гомотопия» в алгебраической топологии и гомологической алгебре (ru)
- En algèbre homologique, la catégorie homotopique K(A) des complexes de chaînes dans une catégorie additive A est un cadre pour travailler avec des complexes de chaînes et équivalences homotopiques. Elle est un intermédiaire entre la catégorie des complexes de chaînes Kom(A) de A et la catégorie dérivée D(A) de A lorsque A est abélien ; contrairement à la première, c'est une catégorie triangulée, et contrairement à la seconde, sa construction n'exige pas que A soit abélien. Moralement, alors que D(A) transforme en isomorphismes toutes applications de complexes de chaînes qui sont des quasi-isomorphismes dans Kom(A), K(A) effectue la même transformation en quasi-isomorphismes que pour une « bonne raison », à savoir ceux qui ont effectivement un inverse à équivalence d'homotopie près. Ainsi, (fr)
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| - Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Kettenhomotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie. (de)
- In homological algebra in mathematics, the homotopy category K(A) of chain complexes in an additive category A is a framework for working with chain homotopies and homotopy equivalences. It lies intermediate between the category of chain complexes Kom(A) of A and the derived category D(A) of A when A is abelian; unlike the former it is a triangulated category, and unlike the latter its formation does not require that A is abelian. Philosophically, while D(A) turns into isomorphisms any maps of complexes that are quasi-isomorphisms in Kom(A), K(A) does so only for those that are quasi-isomorphisms for a "good reason", namely actually having an inverse up to homotopy equivalence. Thus, K(A) is more understandable than D(A). (en)
- En algèbre homologique, la catégorie homotopique K(A) des complexes de chaînes dans une catégorie additive A est un cadre pour travailler avec des complexes de chaînes et équivalences homotopiques. Elle est un intermédiaire entre la catégorie des complexes de chaînes Kom(A) de A et la catégorie dérivée D(A) de A lorsque A est abélien ; contrairement à la première, c'est une catégorie triangulée, et contrairement à la seconde, sa construction n'exige pas que A soit abélien. Moralement, alors que D(A) transforme en isomorphismes toutes applications de complexes de chaînes qui sont des quasi-isomorphismes dans Kom(A), K(A) effectue la même transformation en quasi-isomorphismes que pour une « bonne raison », à savoir ceux qui ont effectivement un inverse à équivalence d'homotopie près. Ainsi, K(A) est plus compréhensible que D(A). (fr)
- Ланцюгова гомотопія — варіація поняття «гомотопія» в алгебраїчній топології і гомологічній алгебрі. (uk)
- Цепна́я гомото́пия — вариация понятия «гомотопия» в алгебраической топологии и гомологической алгебре (ru)
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