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| - Hyperbolische Gruppen (auch: wort-hyperbolische Gruppen, Gromov-hyperbolische Gruppen, negativ gekrümmte Gruppen) sind eines der zentralen Themen der geometrischen Gruppentheorie. Der Begriff wurde in den 1980er Jahren von Michail Leonidowitsch Gromow eingeführt, die Verwendung geometrischer Methoden in der Gruppentheorie hat aber eine lange bis zu Max Dehns Verwendung hyperbolischer Geometrie zur Lösung des Wortproblems für Fundamentalgruppen kompakter Flächen zurückreichende Tradition. In gewissem Sinne sind fast alle Gruppen hyperbolisch. Zahlreiche Methoden aus der Geometrie negativ gekrümmter Räume lassen sich auf hyperbolische Gruppen übertragen und so für die Gruppentheorie nutzbar machen. (de)
- In teoria dei gruppi, più precisamente in , un gruppo iperbolico, detto anche gruppo Gromov-iperbolico, è un gruppo finitamente generato munito di una distanza che soddisfa certe proprietà astratte tipiche della geometria iperbolica classica. La nozione di gruppo iperbolico fu introdotta e sviluppata da Gromov. (it)
- Гиперболическая группа — конечно-порождённая группа, граф Кэли которой, как метрическое пространство, является гиперболическим по Громову. (ru)
- 數學的上，雙曲群是指一種帶有度量的群，符合雙曲幾何的某些性質。雙曲群是米哈伊爾·格羅莫夫於1980年代初所創的概念。 (zh)
- In group theory, more precisely in geometric group theory, a hyperbolic group, also known as a word hyperbolic group or Gromov hyperbolic group, is a finitely generated group equipped with a word metric satisfying certain properties abstracted from classical hyperbolic geometry. The notion of a hyperbolic group was introduced and developed by Mikhail Gromov. The inspiration came from various existing mathematical theories: hyperbolic geometry but also low-dimensional topology (in particular the results of Max Dehn concerning the fundamental group of a hyperbolic Riemann surface, and more complex phenomena in three-dimensional topology), and combinatorial group theory. In a very influential (over 1000 citations ) chapter from 1987, Gromov proposed a wide-ranging research program. Ideas a (en)
- En théorie géométrique des groupes — une branche des mathématiques — un groupe hyperbolique, ou groupe à courbure négative, est un groupe de type fini muni d'une métrique des mots vérifiant certaines propriétés caractéristiques de la géométrie hyperbolique. Cette notion a été introduite et développée par Mikhaïl Gromov au début des années 1980. Il avait remarqué que beaucoup de résultats de Max Dehn concernant le groupe fondamental d'une surface de Riemann hyperbolique ne reposaient pas sur le fait qu'elle soit de dimension 2 ni même que ce soit une variété, mais restaient vrais dans un contexte beaucoup plus général. Dans un article de 1987 qui eut beaucoup de répercussions, Gromov proposa un vaste programme de recherche. Les idées et les ingrédients de base de la théorie viennent aussi d (fr)
- In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een hyperbolische groep (ook woord-hyperbolische groep, Gromov-hyperbolische groep of negatief gekromde groep) een eindig voortgebrachte groep, die is uitgerust met een , die voldoet aan bepaalde eigenschappen, die karakteristiek zijn voor de hyperbolische meetkunde. Het bewgrip hyperbolische groep werd in de vroege jaren 1980 geïntroduceerd en ontwikkeld door Michail Gromov. Hij merkte op dat veel resultaten van Max Dehn over de fundamentaalgroep van een hyperbolisch riemann-oppervlak niet afhankelijk waren van het feit dat dit riemann-oppervlak dimensie twee had of zelfs maar een variëteit was. De resultaten golden ook in een algemenere context. In een zeer invloedrijke artikel formuleerde Gromov in 1987 een voorstel voor een breed (nl)
- У теорії груп, точніше в геометричній теорії груп, гіперболічна група, також відома як словникова гіперболічна група або гіперболічна група Громова, — скінченнопороджена група зі словниковою метрикою, що задовольняє певним властивостям, абстрагованим від класичної гіперболічної геометрії. Поняття гіперболічної групи було введено та досліджено Михайлом Громовим. У визначній (близько 1000 цитувань) роботі 1987 року Громов запропонував далекосяжну дослідницьку програму. (uk)
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