In the mathematical theory of dynamical systems, an irrational rotation is a map where θ is an irrational number. Under the identification of a circle with R/Z, or with the interval [0, 1] with the boundary points glued together, this map becomes a rotation of a circle by a proportion θ of a full revolution (i.e., an angle of 2πθ radians). Since θ is irrational, the rotation has infinite order in the circle group and the map Tθ has no periodic orbits. Alternatively, we can use multiplicative notation for an irrational rotation by introducing the map . It can be shown that φ is an isometry.
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| - Rotación irracional (es)
- Irrational rotation (en)
- 無理回転 (ja)
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| - 力学系の数学理論において、無理回転（むりかいてん、英: irrational rotation）とは、次の写像のことを言う： 但し θ は無理数である。円を R/Z、あるいは境界が貼り合わされる区間 [0, 1] と見なすと、この写像は全回転に対する割合 θ（すなわち、2πθ ラジアンのある角）による円の回転を表すことになる。θ は無理数であるので、この回転は円周群において無限の位数を持ち、写像 Tθ は周期軌道を持たない。 上の代わりに、無理回転は乗法を用いて次の写像のように表すことも出来る： これら加法と乗法の記法の間にある関係は、群同型 . である。φ は等長であることを示すことも出来る。 θ が有理数であるか無理数であるかに応じて、円周の回転には明確な区別が存在する。有理回転は、 および であれば に対して になるという事実より、力学系において無理回転ほどの興味を引くものではない。 であれば を示すことも出来る。 (ja)
- En teoría matemática de los sistemas dinámicos, una rotación irracional es una función matemática. donde θ es un número irracional. En virtud de la identificación de una circunferencia con R/Z o el intervalo [0, 1] con los puntos de los límites relacionados directamente entre sí, esta función se convierte básicamente en una rotación de una circunferencia en una proporción θ de una revolución completa, es decir, un ángulo de 2πθ radianes. Siendo θ irracional, la rotación tiene orden infinito en el grupo circular, mientras que la función Tθ no tiene órbitas periódicas. . (es)
- In the mathematical theory of dynamical systems, an irrational rotation is a map where θ is an irrational number. Under the identification of a circle with R/Z, or with the interval [0, 1] with the boundary points glued together, this map becomes a rotation of a circle by a proportion θ of a full revolution (i.e., an angle of 2πθ radians). Since θ is irrational, the rotation has infinite order in the circle group and the map Tθ has no periodic orbits. Alternatively, we can use multiplicative notation for an irrational rotation by introducing the map . It can be shown that φ is an isometry. (en)
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| - En teoría matemática de los sistemas dinámicos, una rotación irracional es una función matemática. donde θ es un número irracional. En virtud de la identificación de una circunferencia con R/Z o el intervalo [0, 1] con los puntos de los límites relacionados directamente entre sí, esta función se convierte básicamente en una rotación de una circunferencia en una proporción θ de una revolución completa, es decir, un ángulo de 2πθ radianes. Siendo θ irracional, la rotación tiene orden infinito en el grupo circular, mientras que la función Tθ no tiene órbitas periódicas. Alternativamente, se puede usar la notación multiplicativa para una rotación irracional introduciendo la siguiente función: La relación entre las notaciones aditivas y multiplicativas es el isomorfismo: . Con esto se demuestra que φ es una isometría. (es)
- In the mathematical theory of dynamical systems, an irrational rotation is a map where θ is an irrational number. Under the identification of a circle with R/Z, or with the interval [0, 1] with the boundary points glued together, this map becomes a rotation of a circle by a proportion θ of a full revolution (i.e., an angle of 2πθ radians). Since θ is irrational, the rotation has infinite order in the circle group and the map Tθ has no periodic orbits. Alternatively, we can use multiplicative notation for an irrational rotation by introducing the map The relationship between the additive and multiplicative notations is the group isomorphism . It can be shown that φ is an isometry. There is a strong distinction in circle rotations that depends on whether θ is rational or irrational. Rational rotations are less interesting examples of dynamical systems because if and , then when . It can also be shown that when . (en)
- 力学系の数学理論において、無理回転（むりかいてん、英: irrational rotation）とは、次の写像のことを言う： 但し θ は無理数である。円を R/Z、あるいは境界が貼り合わされる区間 [0, 1] と見なすと、この写像は全回転に対する割合 θ（すなわち、2πθ ラジアンのある角）による円の回転を表すことになる。θ は無理数であるので、この回転は円周群において無限の位数を持ち、写像 Tθ は周期軌道を持たない。 上の代わりに、無理回転は乗法を用いて次の写像のように表すことも出来る： これら加法と乗法の記法の間にある関係は、群同型 . である。φ は等長であることを示すことも出来る。 θ が有理数であるか無理数であるかに応じて、円周の回転には明確な区別が存在する。有理回転は、 および であれば に対して になるという事実より、力学系において無理回転ほどの興味を引くものではない。 であれば を示すことも出来る。 (ja)
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