In mathematics, Lebesgue's density theorem states that for any Lebesgue measurable set , the "density" of A is 0 or 1 at almost every point in . Additionally, the "density" of A is 1 at almost every point in A. Intuitively, this means that the "edge" of A, the set of points in A whose "neighborhood" is partially in A and partially outside of A, is negligible. Let μ be the Lebesgue measure on the Euclidean space Rn and A be a Lebesgue measurable subset of Rn. Define the approximate density of A in a ε-neighborhood of a point x in Rn as where Bε denotes the closed ball of radius ε centered at x.
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| - Lebesgue's density theorem (en)
- Teorema di densità di Lebesgue (it)
- 르베그 밀도 정리 (ko)
- ルベーグの密度定理 (ja)
- Dichtheidsstelling van Lebesgue (nl)
- Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości (pl)
- Теорема о точках плотности (ru)
- Теорема Лебега про щільність (uk)
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| - In matematica, il teorema di densità di Lebesgue afferma che per ogni insieme Lebesgue-misurabile la densità di è pari 1 in quasi ogni punto di , dove la densità in un punto è il limite della misura dell'intersezione tra e una palla centrata nel punto, diviso per la misura della palla, nel limite in cui quest'ultima ha un raggio che tende a zero. Si tratta di un caso particolare del teorema di Lebesgue. (it)
- 수학에서 르베그 밀도 정리는 임의의 밀도 측도 집합 A에 대해 A 안의 거의 모든 점에서의 밀도는 1임을 말한다. 직관적으로, 이것은 A에서의 경계(주변의 일부는 A에 포함되고 일부는 A 밖에 있는 A 안의 점들의 집합)는 무시할 수 있음을 의미한다. 르베그의 밀도 정리는 A에서의 거의 모든 점들의 밀도 는 존재하며, 1이다. (ko)
- In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de dichtsheidsstelling van Lebesgue dat voor iedere lebesgue-meetbare verzameling de 'dichtheid' van in bijna elk punt van gelijk is aan 1. Aangezien van een punt van de rand van elke omgeving gedeeltelijk in en gedeeltelijk buiten ligt, is de dichtheid van daar kleiner dan 1. De stelling betekent dus intuïtief dat de rand van kan worden verwaarloosd. De stelling is genoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue. (nl)
- Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty niebędące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero. W klasycznym przypadku miary Lebesgue’a dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitalego o pokryciu, w przypadku ogólniejszych miar Radona wykorzystuje się stosowne dla nich uogólnienie wspomnianego twierdzenia: twierdzenie Bezikowicza o pokryciu. (pl)
- Теорема о точках плотности — результат теории меры, которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль. (ru)
- Теорема Лебега про щільність — результат теорії міри, який інтуїтивно можна розуміти так, що множина «граничних точок» вимірної множини має міру нуль. (uk)
- In mathematics, Lebesgue's density theorem states that for any Lebesgue measurable set , the "density" of A is 0 or 1 at almost every point in . Additionally, the "density" of A is 1 at almost every point in A. Intuitively, this means that the "edge" of A, the set of points in A whose "neighborhood" is partially in A and partially outside of A, is negligible. Let μ be the Lebesgue measure on the Euclidean space Rn and A be a Lebesgue measurable subset of Rn. Define the approximate density of A in a ε-neighborhood of a point x in Rn as where Bε denotes the closed ball of radius ε centered at x. (en)
- 数学におけるルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 A に対して、A のほとんど至るところにおいて A の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、A の「境界」（つまり、A の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合）は、ルベーグ測度に関して無視できるという意味である。 μ を Rn 上のルベーグ測度とし、 A を Rn のルベーグ可測な部分集合とする。Rnの点 x の ε-近傍における A の近似密度を次のように定める。 ここで、Bεは x を中心とする半径 ε の閉球体である。 ルベーグの密度定理は A の殆ど全ての点 x に対して密度 が存在してそれが 1 に等しいと主張する。 言い換えると、いかなる可測集合 A に対しても、Rn のほとんど至るところで A の密度は 0 か 1 である。それにもかかわらず、「μ(A) > 0 かつ μ(Rn ∖ A) > 0 ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような Rn の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。 密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合（もちろん正方形の境界のこと）は空ではないが、（零集合になるという意味で）無視できる。 (ja)
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| - In mathematics, Lebesgue's density theorem states that for any Lebesgue measurable set , the "density" of A is 0 or 1 at almost every point in . Additionally, the "density" of A is 1 at almost every point in A. Intuitively, this means that the "edge" of A, the set of points in A whose "neighborhood" is partially in A and partially outside of A, is negligible. Let μ be the Lebesgue measure on the Euclidean space Rn and A be a Lebesgue measurable subset of Rn. Define the approximate density of A in a ε-neighborhood of a point x in Rn as where Bε denotes the closed ball of radius ε centered at x. Lebesgue's density theorem asserts that for almost every point x of A the density exists and is equal to 0 or 1. In other words, for every measurable set A, the density of A is 0 or 1 almost everywhere in Rn. However, if μ(A) > 0 and μ(Rn \ A) > 0, then there are always points of Rn where the density is neither 0 nor 1. For example, given a square in the plane, the density at every point inside the square is 1, on the edges is 1/2, and at the corners is 1/4. The set of points in the plane at which the density is neither 0 nor 1 is non-empty (the square boundary), but it is negligible. The Lebesgue density theorem is a particular case of the Lebesgue differentiation theorem. Thus, this theorem is also true for every finite Borel measure on Rn instead of Lebesgue measure, see Discussion. (en)
- In matematica, il teorema di densità di Lebesgue afferma che per ogni insieme Lebesgue-misurabile la densità di è pari 1 in quasi ogni punto di , dove la densità in un punto è il limite della misura dell'intersezione tra e una palla centrata nel punto, diviso per la misura della palla, nel limite in cui quest'ultima ha un raggio che tende a zero. Si tratta di un caso particolare del teorema di Lebesgue. (it)
- 数学におけるルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 A に対して、A のほとんど至るところにおいて A の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、A の「境界」（つまり、A の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合）は、ルベーグ測度に関して無視できるという意味である。 μ を Rn 上のルベーグ測度とし、 A を Rn のルベーグ可測な部分集合とする。Rnの点 x の ε-近傍における A の近似密度を次のように定める。 ここで、Bεは x を中心とする半径 ε の閉球体である。 ルベーグの密度定理は A の殆ど全ての点 x に対して密度 が存在してそれが 1 に等しいと主張する。 言い換えると、いかなる可測集合 A に対しても、Rn のほとんど至るところで A の密度は 0 か 1 である。それにもかかわらず、「μ(A) > 0 かつ μ(Rn ∖ A) > 0 ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような Rn の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。 密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合（もちろん正方形の境界のこと）は空ではないが、（零集合になるという意味で）無視できる。 ルベーグの密度定理は、ルベーグの微分定理の特殊な場合である。 (ja)
- 수학에서 르베그 밀도 정리는 임의의 밀도 측도 집합 A에 대해 A 안의 거의 모든 점에서의 밀도는 1임을 말한다. 직관적으로, 이것은 A에서의 경계(주변의 일부는 A에 포함되고 일부는 A 밖에 있는 A 안의 점들의 집합)는 무시할 수 있음을 의미한다. 르베그의 밀도 정리는 A에서의 거의 모든 점들의 밀도 는 존재하며, 1이다. (ko)
- In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de dichtsheidsstelling van Lebesgue dat voor iedere lebesgue-meetbare verzameling de 'dichtheid' van in bijna elk punt van gelijk is aan 1. Aangezien van een punt van de rand van elke omgeving gedeeltelijk in en gedeeltelijk buiten ligt, is de dichtheid van daar kleiner dan 1. De stelling betekent dus intuïtief dat de rand van kan worden verwaarloosd. De stelling is genoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue. (nl)
- Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty niebędące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero. W klasycznym przypadku miary Lebesgue’a dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitalego o pokryciu, w przypadku ogólniejszych miar Radona wykorzystuje się stosowne dla nich uogólnienie wspomnianego twierdzenia: twierdzenie Bezikowicza o pokryciu. (pl)
- Теорема о точках плотности — результат теории меры, которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль. (ru)
- Теорема Лебега про щільність — результат теорії міри, який інтуїтивно можна розуміти так, що множина «граничних точок» вимірної множини має міру нуль. (uk)
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