In the mathematical study of partial differential equations, Lewy's example is a celebrated example, due to Hans Lewy, of a linear partial differential equation with no solutions. It shows that the analog of the Cauchy–Kovalevskaya theorem does not hold in the smooth category. The original example is not explicit, since it employs the Hahn–Banach theorem, but there since have been various explicit examples of the same nature found by .
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| - Beispiel von Lewy (de)
- Exemple de Lewy (fr)
- Lewy's example (en)
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| - Das Beispiel von Lewy ist ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ohne glatte Lösungen, obwohl alle Daten der Gleichung glatt sind. Lange hatte man geglaubt, zumindest für lineare partielle Differentialgleichungen eine zur Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen analoge Existenz- und Eindeutigkeitstheorie aufbauen zu können. Der Satz von Cauchy-Kowalewskaja (1875) schien den Weg zu weisen: Jedes korrekt gestellte Cauchy-Problem mit analytischen Daten besitzt eine analytische Lösung. Seit Beginn des 20. Jahrhunderts konnten viele partielle Differentialgleichungen gelöst werden und die Erfahrung zeigte, dass Differenzierbarkeiteigenschaften der Daten der Gleichung zu eventuell durch den Gleichungsgrad beeinflusste Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösungen führen. Es (de)
- In the mathematical study of partial differential equations, Lewy's example is a celebrated example, due to Hans Lewy, of a linear partial differential equation with no solutions. It shows that the analog of the Cauchy–Kovalevskaya theorem does not hold in the smooth category. The original example is not explicit, since it employs the Hahn–Banach theorem, but there since have been various explicit examples of the same nature found by . (en)
- En mathématiques, l'exemple de Lewy est un exemple célèbre, dû à Hans Lewy, d'une équation aux dérivées partielles linéaire qui n'admet pas de solutions au sens des distributions, même si ses coefficients sont très réguliers car polynomiaux. (fr)
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| - Lewy operator and Mizohata operator (en)
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| - Das Beispiel von Lewy ist ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ohne glatte Lösungen, obwohl alle Daten der Gleichung glatt sind. Lange hatte man geglaubt, zumindest für lineare partielle Differentialgleichungen eine zur Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen analoge Existenz- und Eindeutigkeitstheorie aufbauen zu können. Der Satz von Cauchy-Kowalewskaja (1875) schien den Weg zu weisen: Jedes korrekt gestellte Cauchy-Problem mit analytischen Daten besitzt eine analytische Lösung. Seit Beginn des 20. Jahrhunderts konnten viele partielle Differentialgleichungen gelöst werden und die Erfahrung zeigte, dass Differenzierbarkeiteigenschaften der Daten der Gleichung zu eventuell durch den Gleichungsgrad beeinflusste Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösungen führen. Es lag daher nahe zu vermuten, dass eine zum Satz von Cauchy-Kowalewskaja analoge Aussage gilt, wenn man von analytischen Funktionen zu glatten Funktionen übergeht. Das überraschend einfache Beispiel von Lewy widerlegt diese Vermutung und Hans Lewy selbst schreibt dazu: It was therefore a matter of considerable surprise to this author, to discover that this inference is in general erroneous.deutsch: Die Entdeckung, dass dieser Schluss im Allgemeinen falsch ist, war daher eine sehr große Überraschung für den Autor. Das Beispiel von Lewy ist eine lineare, partielle Differentialgleichung erster Ordnung für komplexwertige Funktionen in drei Unbestimmten : . In einem ersten Schritt zeigte Lewy, dass wenn die rechte Seite gleich mit einer nur von abhängigen und einmal stetig differenzierbaren Funktion ist und wenn es in einer Umgebung von eine einmal stetig differenzierbare Lösung gibt, dann bei analytisch sein muss.Lewy verwendete dies, um unter Verwendung von Banachraum-Argumenten auf nicht-konstruktive Weise eine glatte Funktion zu finden, so dass obige Gleichung keine Lösung in hat, wobei letzteres der Raum aller Funktionen auf ist, deren erste partielle Ableitungen existieren und einer Hölder-Bedingung für alle Punktepaare mit Abstand genügen. Insbesondere hat die lineare partielle Differentialgleichung mit diesem als rechter Seite keine glatte Lösung. Dieses Beispiel ist von erster Ordnung und nur der Koeffizient vor der Ableitung nach ist nicht-konstant, aber als Polynom (sogar ersten Grades) denkbar einfach. Daher belegt das Beispiel von Lewy auch, dass sich der Satz von Malgrange-Ehrenpreis nicht auf einfache Weise verallgemeinern lässt. (de)
- In the mathematical study of partial differential equations, Lewy's example is a celebrated example, due to Hans Lewy, of a linear partial differential equation with no solutions. It shows that the analog of the Cauchy–Kovalevskaya theorem does not hold in the smooth category. The original example is not explicit, since it employs the Hahn–Banach theorem, but there since have been various explicit examples of the same nature found by . The Malgrange–Ehrenpreis theorem states (roughly) that linear partial differential equations with constant coefficients always have at least one solution; Lewy's example shows that this result cannot be extended to linear partial differential equations with polynomial coefficients. (en)
- En mathématiques, l'exemple de Lewy est un exemple célèbre, dû à Hans Lewy, d'une équation aux dérivées partielles linéaire qui n'admet pas de solutions au sens des distributions, même si ses coefficients sont très réguliers car polynomiaux. Ce résultat est à mettre en contraste avec d'une part le théorème de Cauchy-Kowalevski qui montre qu'une équation aux dérivées partielles linéaire ayant des coefficients et un terme source analytiques admet au moins une solution et d'autre part le théorème de Malgrange-Ehrenpreis qui affirme que toute équation aux dérivées partielles linéaire à coefficients constants admet au moins une solution. (fr)
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