In category theory, a branch of mathematics, given a morphism f: X → Y and a morphism g: Z → Y, a lift or lifting of f to Z is a morphism h: X → Z such that f = g∘h. We say that f factors through h. A basic example in topology is lifting a path in one topological space to a path in a covering space. For example, consider mapping opposite points on a sphere to the same point, a continuous map from the sphere covering the projective plane. A path in the projective plane is a continuous map from the unit interval [0,1]. We can lift such a path to the sphere by choosing one of the two sphere points mapping to the first point on the path, then maintain continuity. In this case, each of the two starting points forces a unique path on the sphere, the lift of the path in the projective plane. Thus
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| - Lift (mathematics) (en)
- 올림 (ko)
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| - In category theory, a branch of mathematics, given a morphism f: X → Y and a morphism g: Z → Y, a lift or lifting of f to Z is a morphism h: X → Z such that f = g∘h. We say that f factors through h. A basic example in topology is lifting a path in one topological space to a path in a covering space. For example, consider mapping opposite points on a sphere to the same point, a continuous map from the sphere covering the projective plane. A path in the projective plane is a continuous map from the unit interval [0,1]. We can lift such a path to the sphere by choosing one of the two sphere points mapping to the first point on the path, then maintain continuity. In this case, each of the two starting points forces a unique path on the sphere, the lift of the path in the projective plane. Thus (en)
- ( 이 문서는 수학에서 사상의 올림에 관한 것입니다. 근삿값을 구하는 방법에 대해서는 반올림 문서를 참고하십시오.) 수학의 범주론 등에서, 주어진 사상 f: X → Y와 사상 g: Z → Y에 대하여, f에서 Z로의 올림(lifting)이란 사상h: X → Z를 의미하며, f = g∘h로 표기한다. 위상수학에서 올림의 가장 대표적인 경우는 특정 위상 공간에서 피복 공간의 경로로 올리는 것이다. 이를테면, 구의 한 점과 반대쪽 점을 잇는 사상, 구에서 (사영 평면을 덮는) 연속 함수로의 사상을 생각하자. 이 사영 평면에서 경로는 단위 구간 [0,1]에서 출발하는 연속 함수이다. 이때 구 위의 두 점을 잇는 경로에 대하여 그 중 하나의 점을 택하는 식으로 해당 경로(사상)를 구로 올림할 수 있으며, 이때 함수의 연속성은 유지된다. 이제 구 위의 두 점을 잇는 경로는 올려진 사상에서는 유일한 경로가 된다. 따라서 연속 함수 사상을 갖는 위상 공간의 범주에서 다음과 같이 표시할 수 있다: (사영 평면 경로) (피복 함수) (구 위의 경로) (ko)
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| - In category theory, a branch of mathematics, given a morphism f: X → Y and a morphism g: Z → Y, a lift or lifting of f to Z is a morphism h: X → Z such that f = g∘h. We say that f factors through h. A basic example in topology is lifting a path in one topological space to a path in a covering space. For example, consider mapping opposite points on a sphere to the same point, a continuous map from the sphere covering the projective plane. A path in the projective plane is a continuous map from the unit interval [0,1]. We can lift such a path to the sphere by choosing one of the two sphere points mapping to the first point on the path, then maintain continuity. In this case, each of the two starting points forces a unique path on the sphere, the lift of the path in the projective plane. Thus in the category of topological spaces with continuous maps as morphisms, we have Lifts are ubiquitous; for example, the definition of fibrations (see Homotopy lifting property) and the valuative criteria of separated and proper maps of schemes are formulated in terms of existence and (in the last case) uniqueness of certain lifts. In algebraic topology and homological algebra, tensor product and the Hom functor are adjoint; however, they might not always lift to an exact sequence. This leads to the definition of the Ext functor and the Tor functor. (en)
- ( 이 문서는 수학에서 사상의 올림에 관한 것입니다. 근삿값을 구하는 방법에 대해서는 반올림 문서를 참고하십시오.) 수학의 범주론 등에서, 주어진 사상 f: X → Y와 사상 g: Z → Y에 대하여, f에서 Z로의 올림(lifting)이란 사상h: X → Z를 의미하며, f = g∘h로 표기한다. 위상수학에서 올림의 가장 대표적인 경우는 특정 위상 공간에서 피복 공간의 경로로 올리는 것이다. 이를테면, 구의 한 점과 반대쪽 점을 잇는 사상, 구에서 (사영 평면을 덮는) 연속 함수로의 사상을 생각하자. 이 사영 평면에서 경로는 단위 구간 [0,1]에서 출발하는 연속 함수이다. 이때 구 위의 두 점을 잇는 경로에 대하여 그 중 하나의 점을 택하는 식으로 해당 경로(사상)를 구로 올림할 수 있으며, 이때 함수의 연속성은 유지된다. 이제 구 위의 두 점을 잇는 경로는 올려진 사상에서는 유일한 경로가 된다. 따라서 연속 함수 사상을 갖는 위상 공간의 범주에서 다음과 같이 표시할 수 있다: (사영 평면 경로) (피복 함수) (구 위의 경로) 올림의 개념은 여러 곳에서 쓰인다. 예를 들어 올뭉치는 올림의 존재성으로 정의되며, 스킴에서의 분리된 고유 함수에 대한 판별 조건 등은 특정 올림에 대한 '유일성의 정리'로 전개된다. 대수적 위상수학과 호몰로지 대수학에서, 텐서곱과 Hom 함자는 수반이다. 그러나 언제나 완전열로의 올림을 보장하지는 않는다. 이것이 Ext 함자와 Tor 함자를 따로 정의내리는 배경이 된다. (ko)
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