In algebra, a linear Lie algebra is a subalgebra of the Lie algebra consisting of endomorphisms of a vector space V. In other words, a linear Lie algebra is the image of a Lie algebra representation. Any Lie algebra is a linear Lie algebra in the sense that there is always a faithful representation of (in fact, on a finite-dimensional vector space by Ado's theorem if is itself finite-dimensional.)
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| - Linear Lie algebra (en)
- 線型リー環 (ja)
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| - 代数学において,線型リー環(せんけいリーかん,英: linear Lie algebra)とは,ベクトル空間 V の自己準同型全体からなるリー環 の部分リー環である.言い換えると,線型リー環はリー環の表現の像である. 任意のリー環は,その忠実表現が必ず存在するという意味で,線型リー環である.(実は,リー環自身が有限次元であるときには,によって,有限次元ベクトル空間上の忠実表現をもつ.) V を標数 0 の体上の有限次元ベクトル空間とし, を の部分環とする.このとき V が 上の加群として半単純であることと,(i) それが中心と半単純イデアルの直和であり,(ii) 中心の元が(ある拡大体上)対角化可能であることと同値である. (ja)
- In algebra, a linear Lie algebra is a subalgebra of the Lie algebra consisting of endomorphisms of a vector space V. In other words, a linear Lie algebra is the image of a Lie algebra representation. Any Lie algebra is a linear Lie algebra in the sense that there is always a faithful representation of (in fact, on a finite-dimensional vector space by Ado's theorem if is itself finite-dimensional.) (en)
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| - In algebra, a linear Lie algebra is a subalgebra of the Lie algebra consisting of endomorphisms of a vector space V. In other words, a linear Lie algebra is the image of a Lie algebra representation. Any Lie algebra is a linear Lie algebra in the sense that there is always a faithful representation of (in fact, on a finite-dimensional vector space by Ado's theorem if is itself finite-dimensional.) Let V be a finite-dimensional vector space over a field of characteristic zero and a subalgebra of . Then V is semisimple as a module over if and only if (i) it is a direct sum of the center and a semisimple ideal and (ii) the elements of the center are diagonalizable (over some extension field). (en)
- 代数学において,線型リー環(せんけいリーかん,英: linear Lie algebra)とは,ベクトル空間 V の自己準同型全体からなるリー環 の部分リー環である.言い換えると,線型リー環はリー環の表現の像である. 任意のリー環は,その忠実表現が必ず存在するという意味で,線型リー環である.(実は,リー環自身が有限次元であるときには,によって,有限次元ベクトル空間上の忠実表現をもつ.) V を標数 0 の体上の有限次元ベクトル空間とし, を の部分環とする.このとき V が 上の加群として半単純であることと,(i) それが中心と半単純イデアルの直和であり,(ii) 中心の元が(ある拡大体上)対角化可能であることと同値である. (ja)
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