In mathematics, Mahler's theorem, introduced by Kurt Mahler, expresses continuous p-adic functions in terms of polynomials. Over any field of characteristic 0, one has the following result: Let be the forward difference operator. Then for polynomial functions f we have the Newton series where is the kth binomial coefficient polynomial. It is remarkable that as weak an assumption as continuity is enough; by contrast, Newton series on the field of complex numbers are far more tightly constrained, and require Carlson's theorem to hold.
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| - Théorème de Mahler (fr)
- Mahler's theorem (en)
- マーラーの定理 (ja)
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| - 数学において、Kurt Mahler によって導入されたマーラーの定理（マーラーのていり、英: Mahler's theorem）とは、連続な p-進関数を多項式で表現することについて述べたものである。 次の結果は任意の体において成立する。今、前進差分作用素を と定める。このとき、多項式関数 f に対して、次のニュートン級数が得られる： ただし は k 番目の二項係数多項式である。 実数体上では、関数 f が多項式であるという仮定は弱められるが、単なる連続性の仮定のみでは上の等式は成り立たない。 マーラーの定理では、f が p-進整数上の連続な p-進値関数であるなら、その等式が成り立つと述べられている。 上述の作用素 Δ と多項式列との関係は、微分と xk を k 番目の項とする数列との関係と似ている。 驚くべきことは、連続性と同程度弱い仮定の下で、上述の等式が成り立つということである。それと比較して、複素数体上のニュートン級数ではより強い制限が必要となり、特にの成立が必要となる。 f が標数 0 の任意の体内の係数を持つ多項式関数であるなら、上述の等式は右辺が有限の項の和として成立する。これは代数的事実の一つである。 (ja)
- In mathematics, Mahler's theorem, introduced by Kurt Mahler, expresses continuous p-adic functions in terms of polynomials. Over any field of characteristic 0, one has the following result: Let be the forward difference operator. Then for polynomial functions f we have the Newton series where is the kth binomial coefficient polynomial. It is remarkable that as weak an assumption as continuity is enough; by contrast, Newton series on the field of complex numbers are far more tightly constrained, and require Carlson's theorem to hold. (en)
- Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler. En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée : . On note l'opérateur de différence défini par . Alors nous avons c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est . . (fr)
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| - In mathematics, Mahler's theorem, introduced by Kurt Mahler, expresses continuous p-adic functions in terms of polynomials. Over any field of characteristic 0, one has the following result: Let be the forward difference operator. Then for polynomial functions f we have the Newton series where is the kth binomial coefficient polynomial. Over the field of real numbers, the assumption that the function f is a polynomial can be weakened, but it cannot be weakened all the way down to mere continuity. Mahler's theorem states that if f is a continuous p-adic-valued function on the p-adic integers then the same identity holds. The relationship between the operator Δ and this polynomial sequence is much like that between differentiation and the sequence whose kth term is xk. It is remarkable that as weak an assumption as continuity is enough; by contrast, Newton series on the field of complex numbers are far more tightly constrained, and require Carlson's theorem to hold. (en)
- Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler. En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée : . On note l'opérateur de différence défini par . Alors nous avons c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est . Énoncé — Si est une fonction continue à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques, alors . Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carlson), on a seulement besoin de la continuité. Si est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps commutatif de caractéristique nulle, l'identité reste valable. (fr)
- 数学において、Kurt Mahler によって導入されたマーラーの定理（マーラーのていり、英: Mahler's theorem）とは、連続な p-進関数を多項式で表現することについて述べたものである。 次の結果は任意の体において成立する。今、前進差分作用素を と定める。このとき、多項式関数 f に対して、次のニュートン級数が得られる： ただし は k 番目の二項係数多項式である。 実数体上では、関数 f が多項式であるという仮定は弱められるが、単なる連続性の仮定のみでは上の等式は成り立たない。 マーラーの定理では、f が p-進整数上の連続な p-進値関数であるなら、その等式が成り立つと述べられている。 上述の作用素 Δ と多項式列との関係は、微分と xk を k 番目の項とする数列との関係と似ている。 驚くべきことは、連続性と同程度弱い仮定の下で、上述の等式が成り立つということである。それと比較して、複素数体上のニュートン級数ではより強い制限が必要となり、特にの成立が必要となる。 f が標数 0 の任意の体内の係数を持つ多項式関数であるなら、上述の等式は右辺が有限の項の和として成立する。これは代数的事実の一つである。 (ja)
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