About: Maurer–Cartan form

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In mathematics, the Maurer–Cartan form for a Lie group G is a distinguished differential one-form on G that carries the basic infinitesimal information about the structure of G. It was much used by Élie Cartan as a basic ingredient of his method of moving frames, and bears his name together with that of Ludwig Maurer.

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rdfs:label	Maurer-Cartan-Form (de) Forme de Maurer-Cartan (fr) Forma di Maurer-Cartan (it) Maurer–Cartan form (en) 마우러-카르탕 형식 (ko) モーレー・カルタンの微分形式 (ja) Форма Маурера — Картана (ru) 马尤厄－嘉当形式 (zh) Форма Маурера — Картана (uk)
rdfs:comment	Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan. (de) En géométrie différentielle, la 1-forme de Maurer-Cartan est une 1-forme différentielle particulière sur un groupe de Lie. (fr) 미분기하학에서 마우러-카르탕 형식(Maurer-Cartan形式, 영어: Maurer–Cartan form)은 리 군 위에 정의된, 리 대수 값의 1차 미분 형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다. (ko) In matematica, la forma di Maurer–Cartan associata ad ogni gruppo di Lie è una particolare 1-forma differenziale su che codifica l'informazione a livello infinitesimo circa la struttura del gruppo . Fu usata dal matematico Élie Cartan come ingrediente fondamentale del suo metodo dei riferimenti mobili e porta il suo nome accanto a quello di Ludwig Maurer. (it) 数学において、モーレー・カルタンの微分形式 (Maurer–Cartan form) あるいはMaurer–Cartan 形式とは、リー群の上に自然に定められ、群構造の無限小近似を与える1次微分形式のことである。エリ・カルタンによる動標構の理論の中で大きな役割を果たし、この理論に貢献のあった (Ludwig Maurer) とともにその名前が付けられている。リー群 G の Maurer–Cartan 形式は G のリー環に値をとる微分形式である。このリー環は G の単位元における接ベクトル空間 TeG と同一視できるため、Maurer–Cartan 形式は G の各点 g における接空間 TgG から TeG への写像と見なすことができる。この見方に立つと、Maurer–Cartan 形式は g における接ベクトル X に対して、左から g−1 をかけることで定まる G 上の微分同相による像を対応させるもの、として定義することができる。 (ja) Форма Маурера — Картана в теорії груп Лі — диференціальна форма визначена на групі Лі, що приймає значення у відповідній алгебрі Лі. Названа начесть німецького математика Людвіга Маурера і французького математика Елі Картана. (uk) Форма Маурера — Картана — определённая 1-форма на группе Ли G со значениями в её алгебре Ли, несущую основную инфинитезимальную информацию о структуре этой группы.Широко использовалась Эли Картаном как основная составляющая его метода подвижных реперов. Помимо имени Картана носит имя . (ru) 数学上，一个李群G的Maurer-Cartan形式是一个特别的微分形式，它包含关于这个李群的结构的基本的无穷小信息。它被埃里·嘉当多次使用，作为他的移动标架法的基本组成。设是李群在幺元的切空间(它的李代数)。G可以由左平移作用在自身 , 这个诱导出切丛到自身的一个映射 . 一个左移不变向量场是的一个截面，使得 ∀ Maurer-Cartan形式是在g值(在g中取值)的G上的1形式，根据公式作用在向量上。若X是G上的左移不变向量场，则在G为常数。而且，若X和Y都是左移不变，则其中左边的括号为向量场的李括号，而右边的括号为李代数g的李括号。(这可以作为g上的李括号的定义。)这些事实可以用来建立李代数的同构 G上的左移不变向量场 . 根据微分的定义，若X和Y为任意向量场，则 . 实用上，若X和Y为左移不变，则 , 所以但是左边只是一个2-形式(其值只和X,Y在一点的取值有关，所以跟X,Y作为场在周围的变化无关)，所以方程不依赖于X和Y是左移不变的条件。所以这个方程对所有向量场X和Y成立。这被称为Maurer-Cartan方程. 如果G嵌入到GL(n，R),则可以把的公式显式的写成若我们在李群G上引入主丛，并把G上的定义为变换函数，则联络形式是的。实际上和Maurer-Cartan方程完全一致。 (zh) In mathematics, the Maurer–Cartan form for a Lie group G is a distinguished differential one-form on G that carries the basic infinitesimal information about the structure of G. It was much used by Élie Cartan as a basic ingredient of his method of moving frames, and bears his name together with that of Ludwig Maurer. (en)
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