In probability theory, Maxwell's theorem, named in honor of James Clerk Maxwell, states that if the probability distribution of a vector-valued random variable X = ( X1, ..., Xn )T is the same as the distribution of GX for every n×n orthogonal matrix G and the components are independent, then the components X1, ..., Xn are normally distributed with expected value 0 and all have the same variance. This theorem is one of many characterizations of the normal distribution.
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| - Théorème de Maxwell (fr)
- Maxwell's theorem (en)
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| - In probability theory, Maxwell's theorem, named in honor of James Clerk Maxwell, states that if the probability distribution of a vector-valued random variable X = ( X1, ..., Xn )T is the same as the distribution of GX for every n×n orthogonal matrix G and the components are independent, then the components X1, ..., Xn are normally distributed with expected value 0 and all have the same variance. This theorem is one of many characterizations of the normal distribution. (en)
- En théorie des probabilités, le théorème de Maxwell, nommé en l'honneur de James Clerk Maxwell, stipule que si la distribution de probabilité d'une variable aléatoire X = (X1, ..., Xn )T à valeurs dans un espace vectoriel est égale à la distribution de GX pour toute matrice orthogonale G de taille n, et si les composantes sont indépendantes, alors les composantes X1, ..., Xn suivent une distribution normale d'espérance 0, ont la même variance et sont indépendantes. Ce théorème est l'une des nombreuses caractérisations d'une distribution normale. (fr)
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| - In probability theory, Maxwell's theorem, named in honor of James Clerk Maxwell, states that if the probability distribution of a vector-valued random variable X = ( X1, ..., Xn )T is the same as the distribution of GX for every n×n orthogonal matrix G and the components are independent, then the components X1, ..., Xn are normally distributed with expected value 0 and all have the same variance. This theorem is one of many characterizations of the normal distribution. Since a multiplication by an orthogonal matrix is a rotation, the theorem says that if the probability distribution of a random vector is unchanged by rotations and if the components are independent, then the components are identically distributed and normally distributed. In other words, the only rotationally invariant probability distributions on Rn that have independent components are multivariate normal distributions with expected value 0 and variance σ2In, (where In = the n×n identity matrix), for some positive number σ2. (en)
- En théorie des probabilités, le théorème de Maxwell, nommé en l'honneur de James Clerk Maxwell, stipule que si la distribution de probabilité d'une variable aléatoire X = (X1, ..., Xn )T à valeurs dans un espace vectoriel est égale à la distribution de GX pour toute matrice orthogonale G de taille n, et si les composantes sont indépendantes, alors les composantes X1, ..., Xn suivent une distribution normale d'espérance 0, ont la même variance et sont indépendantes. Ce théorème est l'une des nombreuses caractérisations d'une distribution normale. La multiplication par une matrice orthonormée peut être vue géométriquement comme l'application d'une rotation. Le théorème dit donc que si une distribution de probabilité d'une variable aléatoire vectorielle est invariante par rotation et si les composantes sont indépendantes, alors les composantes sont identiquement distribuées sous une loi normale. En d'autres termes, les seules distributions de probabilité sur Rn invariantes par rotations et qui ont des composantes indépendantes sont les distributions normales multivariées d'espérance 0 et de variance σ2In, (où In est la matrice identité d'ordre n), pour un certain réel positif σ2. (fr)
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