In number theory, Meyer's theorem on quadratic forms states that an indefinite quadratic form Q in five or more variables over the field of rational numbers nontrivially represents zero. In other words, if the equation Q(x) = 0 has a non-zero real solution, then it has a non-zero rational solution (the converse is obvious). By clearing the denominators, an integral solution x may also be found. Meyer's theorem is usually deduced from the Hasse–Minkowski theorem (which was proved later) and the following statement: Q(x1,x2,x3,x4) = x12 + x22 − p(x32 + x42),
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| - Théorème de Meyer (fr)
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| - In number theory, Meyer's theorem on quadratic forms states that an indefinite quadratic form Q in five or more variables over the field of rational numbers nontrivially represents zero. In other words, if the equation Q(x) = 0 has a non-zero real solution, then it has a non-zero rational solution (the converse is obvious). By clearing the denominators, an integral solution x may also be found. Meyer's theorem is usually deduced from the Hasse–Minkowski theorem (which was proved later) and the following statement: Q(x1,x2,x3,x4) = x12 + x22 − p(x32 + x42), (en)
- Le théorème de Meyer est un résultat de théorie des nombres, qui établit que toute forme quadratique Q à au moins cinq variables sur le corps des rationnels représente zéro (de façon non triviale) dès que Q est non définie, c'est-à-dire que si l'équation Q(x) = 0 possède au moins une solution non nulle réelle alors elle en possède une rationnelle (donc aussi une entière, en évacuant les dénominateurs). Ce théorème se déduit aujourd'hui du théorème de Hasse-Minkowski (démontré ultérieurement) et du lemme suivant : Q(x1, x2, x3, x4) = x12 + x22 – p(x32 + x42), (fr)
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| - Le théorème de Meyer est un résultat de théorie des nombres, qui établit que toute forme quadratique Q à au moins cinq variables sur le corps des rationnels représente zéro (de façon non triviale) dès que Q est non définie, c'est-à-dire que si l'équation Q(x) = 0 possède au moins une solution non nulle réelle alors elle en possède une rationnelle (donc aussi une entière, en évacuant les dénominateurs). Ce théorème se déduit aujourd'hui du théorème de Hasse-Minkowski (démontré ultérieurement) et du lemme suivant : Une forme quadratique rationnelle à au moins cinq variables représente zéro sur le corps ℚp des nombres p-adiques, pour tout p. Le théorème de Meyer est optimal quant au nombre de variables : il existe des formes quadratiques rationnelles non définies en quatre variables qui ne représentent pas zéro. Une famille d'exemples est donnée par Q(x1, x2, x3, x4) = x12 + x22 – p(x32 + x42), où p est un nombre premier congru à 3 modulo 4. On peut le démontrer par descente infinie, en utilisant que si une somme de deux carrés parfaits est divisible par un tel p alors chacun des deux carrés l'est. (fr)
- In number theory, Meyer's theorem on quadratic forms states that an indefinite quadratic form Q in five or more variables over the field of rational numbers nontrivially represents zero. In other words, if the equation Q(x) = 0 has a non-zero real solution, then it has a non-zero rational solution (the converse is obvious). By clearing the denominators, an integral solution x may also be found. Meyer's theorem is usually deduced from the Hasse–Minkowski theorem (which was proved later) and the following statement: A rational quadratic form in five or more variables represents zero over the field Qp of the p-adic numbers for all p. Meyer's theorem is best possible with respect to the number of variables: there are indefinite rational quadratic forms Q in four variables which do not represent zero. One family of examples is given by Q(x1,x2,x3,x4) = x12 + x22 − p(x32 + x42), where p is a prime number that is congruent to 3 modulo 4. This can be proved by the method of infinite descent using the fact that if the sum of two perfect squares is divisible by such a p then each summand is divisible by p. (en)
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