In projective geometry an ovoid is a sphere like pointset (surface) in a projective space of dimension d ≥ 3. Simple examples in a real projective space are hyperspheres (quadrics). The essential geometric properties of an ovoid are: 1.
* Any line intersects in at most 2 points, 2.
* The tangents at a point cover a hyperplane (and nothing more), and 3.
* contains no lines. Property 2) excludes degenerated cases (cones,...). Property 3) excludes ruled surfaces (hyperboloids of one sheet, ...). An ovoid is the spatial analog of an oval in a projective plane.
| Attributes | Values |
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| - Ovoid (Projektive Geometrie) (de)
- Ovoid (projective geometry) (en)
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| - Ein Ovoid ist in der projektiven Geometrie eine kugelähnliche Punktmenge (Fläche) in einem projektiven Raum der Dimension . Ein Ovoid ist das räumliche Analogon zu einem Oval in einer projektiven Ebene. Die einfachsten Beispiele in reellen projektiven Räumen sind Hyperkugeln (Quadriken). Die wesentlichen geometrischen Eigenschaften eines Ovoids sind: 1) Eine Gerade trifft in höchstens 2 Punkten, 2) die Tangenten in einem Punkt überdecken eine Hyperebene (und nicht mehr), 3) enthält keine Geraden. Ein Ovoid ist aufgrund der Definition eine spezielle quadratische Menge. (de)
- In projective geometry an ovoid is a sphere like pointset (surface) in a projective space of dimension d ≥ 3. Simple examples in a real projective space are hyperspheres (quadrics). The essential geometric properties of an ovoid are: 1.
* Any line intersects in at most 2 points, 2.
* The tangents at a point cover a hyperplane (and nothing more), and 3.
* contains no lines. Property 2) excludes degenerated cases (cones,...). Property 3) excludes ruled surfaces (hyperboloids of one sheet, ...). An ovoid is the spatial analog of an oval in a projective plane. (en)
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| - Ein Ovoid ist in der projektiven Geometrie eine kugelähnliche Punktmenge (Fläche) in einem projektiven Raum der Dimension . Ein Ovoid ist das räumliche Analogon zu einem Oval in einer projektiven Ebene. Die einfachsten Beispiele in reellen projektiven Räumen sind Hyperkugeln (Quadriken). Die wesentlichen geometrischen Eigenschaften eines Ovoids sind: 1) Eine Gerade trifft in höchstens 2 Punkten, 2) die Tangenten in einem Punkt überdecken eine Hyperebene (und nicht mehr), 3) enthält keine Geraden. Eigenschaft 2) schließt ausgeartete Fälle (Kegel, …) aus. Eigenschaft 3) schließt Regelflächen (z. B. einschalige Hyperboloide) aus. Auf der einen Seite macht die Tatsache, dass es keine nicht-desarguesschen projektiven Räume gibt, die Diskussion gegenüber dem ebenen Fall (es gibt nicht-desarguessche Ebenen) einfacher, andererseits gibt es nicht in jedem pappusschen Raum (projektiver Raum über einem Körper) eine Quadrik, die ein Ovoid ist. (In jeder pappusschen Ebene aber gibt es ovale Kegelschnitte!) Ein Ovoid ist aufgrund der Definition eine spezielle quadratische Menge. Ovoide spielen bei der Konstruktion von Möbius-Ebenen bzw. Möbius-Räumen eine wesentliche Rolle. (de)
- In projective geometry an ovoid is a sphere like pointset (surface) in a projective space of dimension d ≥ 3. Simple examples in a real projective space are hyperspheres (quadrics). The essential geometric properties of an ovoid are: 1.
* Any line intersects in at most 2 points, 2.
* The tangents at a point cover a hyperplane (and nothing more), and 3.
* contains no lines. Property 2) excludes degenerated cases (cones,...). Property 3) excludes ruled surfaces (hyperboloids of one sheet, ...). An ovoid is the spatial analog of an oval in a projective plane. An ovoid is a special type of a quadratic set. Ovoids play an essential role in constructing examples of Möbius planes and higher dimensional Möbius geometries. (en)
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