| rdfs:comment
| - Un portrait de phase est une représentation géométrique des trajectoires d'un système dynamique dans l'espace des phases : à chaque ensemble de conditions initiales correspond une courbe ou un point. (fr)
- Фазовий портрет - зображення траєкторій динамічної системи у фазовому просторі. Кожен стан системи відповідає певній точці на фазовому портреті. Фазові портрети служать для наочного відображення особливостей еволюції динамічної системи: стаціонарних точок, циклів, басейнів притягання. Для двовимірної системи фазовий портрет повністю відображає типи траєкторій, які можуть реалізуватися. Для системи більшої вимірності будуються проєкції фазових траєкторій на вибрану площину фазового простору. (uk)
- 相圖是在用繪圖的方式在相平面上表示動態系統的軌跡。每一個不同的初始條件都用一條曲線（或是一個點）表示。 在研究動態系統時，相圖是很重要的工具。相圖是由在相空間中各點軌跡的組成。相圖可以看出動態系統在給定的參數下，是否有吸引子、排斥子或是极限环。的概念在為系統行為分類時非常重要，例如二個不同的相圖可能會出現相同的本質性動態特性。 在相圖中會描繪系統的軌跡（以箭頭表示）、穩定穩態（以黑點表示）及不穩定穩態（以圓圈點表示），相圖的軸對應狀態變數。 (zh)
- صورة الطور هي تمثيل هندسي لمسارات النظام الديناميكي في مستوى الطور. يتم تمثيل كل مجموعة من الشروط الأولية بمنحنى أو نقطة مختلفة. تعد صور الطور أداة لا تقدر بثمن في دراسة الأنظمة الديناميكية. وهي تتكون من رسم المسارات المحتملة للمتحولات في فضاء الحالة. تكشف صورة الطور عن معلومات مثل ما إذا كان الجاذب أو الطارد أو دورة الحد موجودًا لقيمة المعلمة المختارة. يمثل الجاذب نقطة مستقرة تسمى أيضًا «بالوعة». ويعتبر الطارد نقطة غير مستقرة، والتي تُعرف أيضًا باسم «المصدر». إن مفهوم التكافؤ الطوبولوجي مهم في تصنيف سلوك الأنظمة من خلال تحديد متى تمثل صورتين مختلفتين للطور نفس السلوك الديناميكي النوعي. (ar)
- Un retrat de fase és una representació geomètrica de les trajectòries d'un sistema dinàmic en el pla de fase. Cada conjunt de condicions inicials és representat per una corba diferent, o per un punt. Els retrats de fase són una eina molt útil en l'estudi de sistemes dinàmics. Consisteixen en una representació gràfica de les trajectòries típiques en un espai d'estats. Això revela informació com ara si un punt d'equilibri és atractor, repel·lent o cicle límit segons el valor que s'escolleixi d'un paràmetre. El concepte d'equivalència topològica és important en la classificació del comportament dels sistemes per especificar quan dos retrats de fase diferents representen el mateix comportament dinàmic qualitativament. Un atractor és un punt estable que és també anomenat "embornal" (en anglès, (ca)
- In der Mathematik dient das Phasenporträt (auch Phasenportrait) der Veranschaulichung einer autonomen Differentialgleichung. Das Phasenraumporträt gibt eine Möglichkeit, die zeitlichen Entwicklungen dynamischer Systeme graphisch zu analysieren. Dazu werden nur die dynamischen Gleichungen des Systems benötigt, eine explizite Darstellung der Zeitentwicklung, etwa durch analytisches Lösen einer Differentialgleichung, ist nicht nötig. Man betrachtet also eine Differentialgleichung erster Ordnung: (de)
- Un retrato de fase es una representación geométrica de todas las trayectorias de un sistema dinámico en el plano. Cada curva representa una condición inicial diferente. Un retrato de fase es una herramienta valiosa en el estudio de los sistemas dinámicos autónomos de segundo orden. La configuración de las curvas en el espacio de fase revela información sobre la existencia de atractores, , . El concepto de desempeña un papel importante en la clasificación de los sistemas dinámicos para especificar cuando dos sistemas diferentes muestran el mismo comportamiento cualitativo. Un gráfico de un retrato de fases de un sistema dinámico representa las trayectorias del sistema con flechas y sus estados de equilibrio estable e inestable con puntos. (es)
- A phase portrait is a geometric representation of the trajectories of a dynamical system in the phase plane. Each set of initial conditions is represented by a different curve, or point. Phase portraits are an invaluable tool in studying dynamical systems. They consist of a plot of typical trajectories in the state space. This reveals information such as whether an attractor, a repellor or limit cycle is present for the chosen parameter value. The concept of topological equivalence is important in classifying the behaviour of systems by specifying when two different phase portraits represent the same qualitative dynamic behavior. An attractor is a stable point which is also called "sink". The repeller is considered as an unstable point, which is also known as "source". (en)
- Un ritratto di fase (talvolta chiamato con il nome inglese phase portrait) è una rappresentazione geometrica delle traiettorie di un sistema dinamico nello spazio delle fasi. Ogni insieme di condizioni iniziali è rappresentato da una differente curva o punto. In un ritratto di fase di un sistema dinamico vengono rappresentate le traiettorie del sistema (con delle frecce), gli stati di stabilità (con dei punti) e gli stati di instabilità (con dei cerchi) nello spazio di stato. Gli assi sono costituiti dalle variabili di stato. (it)
- Diagram fazowy, portret fazowy – zbiór punktów w przestrzeni fazowej reprezentujący możliwe ruchy dla zadanego hamiltonianu lub lagranżjanu. W pierwszym wypadku przestrzeń fazowa zawiera wymiarów przestrzennych i wymiarów pędowych, gdzie jest stopniem swobody układu opisywanego hamiltonianem. W przypadku mechaniki Lagrange'a wymiary pędowe są zastąpione przez wymiary prędkościowe. Wobec tego każdy punkt na diagramie fazowym odpowiada pewnemu położeniu w przestrzeni składowych układu (współrzędne przestrzenne punktu) i odpowiadającym im pędom (prędkościom). (pl)
- O retrato de fase é uma de todas as trajetórias de um sistema dinâmico no plano. Cada curva representa um diferente condição inicial. O retrato de fase é uma ferramenta valiosa no estudo dos sistemas dinâmicos autônomos de segunda ordem. A configuração das curvas no espaço de fase revela informaões sobre a existências de atratores, e . O conceito de desempenha um papel importante na classificação dos sistemas dinâmicos ao especificar quando dois sistemas diferentes apresentam o mesmo comportamento qualitativo. x(t)=A sen (ω t- δ) (1-a) ẋ(t)=Aω co s(ω t- δ) (1-b) (9) (pt)
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| has abstract
| - Un retrat de fase és una representació geomètrica de les trajectòries d'un sistema dinàmic en el pla de fase. Cada conjunt de condicions inicials és representat per una corba diferent, o per un punt. Els retrats de fase són una eina molt útil en l'estudi de sistemes dinàmics. Consisteixen en una representació gràfica de les trajectòries típiques en un espai d'estats. Això revela informació com ara si un punt d'equilibri és atractor, repel·lent o cicle límit segons el valor que s'escolleixi d'un paràmetre. El concepte d'equivalència topològica és important en la classificació del comportament dels sistemes per especificar quan dos retrats de fase diferents representen el mateix comportament dinàmic qualitativament. Un atractor és un punt estable que és també anomenat "embornal" (en anglès, "sink"). Un repel·lent és considerat com un punt inestable i també és conegut com a "font" (en anglès, "source"). Una gràfica del retrat de fases d'un sistema dinàmic descriu les trajectòries del sistema (amb fletxes) i estats estacionaris estables (amb punts) i estats estacionaris inestables (amb cercles) en un espai d'estats. Els eixos representen les variables d'estat. (ca)
- صورة الطور هي تمثيل هندسي لمسارات النظام الديناميكي في مستوى الطور. يتم تمثيل كل مجموعة من الشروط الأولية بمنحنى أو نقطة مختلفة. تعد صور الطور أداة لا تقدر بثمن في دراسة الأنظمة الديناميكية. وهي تتكون من رسم المسارات المحتملة للمتحولات في فضاء الحالة. تكشف صورة الطور عن معلومات مثل ما إذا كان الجاذب أو الطارد أو دورة الحد موجودًا لقيمة المعلمة المختارة. يمثل الجاذب نقطة مستقرة تسمى أيضًا «بالوعة». ويعتبر الطارد نقطة غير مستقرة، والتي تُعرف أيضًا باسم «المصدر». إن مفهوم التكافؤ الطوبولوجي مهم في تصنيف سلوك الأنظمة من خلال تحديد متى تمثل صورتين مختلفتين للطور نفس السلوك الديناميكي النوعي. يصور رسم بياني طوري لنظام ديناميكي مسارات النظام (الأسهم) والحالات الثابتة المستقرة (النقاط) والحالات الثابتة غير المستقرة (الدوائر) في فضاء الحالة. إن المحاور في صورة الطور هي متغيرات الحالة. (ar)
- In der Mathematik dient das Phasenporträt (auch Phasenportrait) der Veranschaulichung einer autonomen Differentialgleichung. Das Phasenraumporträt gibt eine Möglichkeit, die zeitlichen Entwicklungen dynamischer Systeme graphisch zu analysieren. Dazu werden nur die dynamischen Gleichungen des Systems benötigt, eine explizite Darstellung der Zeitentwicklung, etwa durch analytisches Lösen einer Differentialgleichung, ist nicht nötig. Das Phasenporträt besteht aus der Gesamtheit aller Orbits des dynamischen Systems, zusammen mit Pfeilen, die die zeitliche Entwicklung entlang der Orbits angeben. Da die Gesamtheit aller Orbits der gesamte Phasenraum des dynamischen Systems ist, zeichnet man nur einige charakteristische Orbits. Aus dem Phasenporträt eines dynamischen Systems lässt sich ein erster Eindruck über sein globales Verhalten gewinnen, beispielsweise die Existenz und Stabilität von Fixpunkten und periodischen Orbits. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist meist nur das Zeichnen von Phasenporträts in und sinnvoll. Man betrachtet also eine Differentialgleichung erster Ordnung: mit für eine Teilmenge .Die einzige Information, die wir über die gesuchte Bahn haben, ist ihreAbleitung , die an der Stelle durch gegeben ist. Die Funktion ordnet also jedem Element aus dem Definitionsbereich eine Steigung oder auch Richtung zu. Trägt man diese Richtungen in Form von Geradenstücken an den zugehörigen Punkten ein, wird ein Muster sichtbar. Die Lösungen der Differentialgleichung sind Kurven, die tangential zu diesen Geradenstücken stehen und als Bahnkurven oder Trajektorien bezeichnet werden. Die Menge aller Bahnkurven, bzw. Trajektorien, gibt das Phasenporträt. Für ein Raster von Punkten wird die Richtung der Bewegung im Phasenraum durch Pfeile dargestellt; so wird ein Vektorfeld eingezeichnet. Folgt man nun ausgehend von einem bestimmten Startpunkt dem Pfeil, kommt man zu einem neuen Punkt, wo man dieses Vorgehen wiederholen kann. So kann man anhand des Vektorfelds zusätzlich typische Trajektorien in das Phasenraumporträt einzeichnen, die das qualitative Verhalten der zeitlichen Entwicklung einzuschätzen helfen. Für einfache dynamische Systeme kann man Vektorfeld und Beispieltrajektorien oft mit der Hand einzeichnen, bei komplexeren Systemen kann dies durch Computerprogramme geschehen. (de)
- Un retrato de fase es una representación geométrica de todas las trayectorias de un sistema dinámico en el plano. Cada curva representa una condición inicial diferente. Un retrato de fase es una herramienta valiosa en el estudio de los sistemas dinámicos autónomos de segundo orden. La configuración de las curvas en el espacio de fase revela información sobre la existencia de atractores, , . El concepto de desempeña un papel importante en la clasificación de los sistemas dinámicos para especificar cuando dos sistemas diferentes muestran el mismo comportamiento cualitativo. Un gráfico de un retrato de fases de un sistema dinámico representa las trayectorias del sistema con flechas y sus estados de equilibrio estable e inestable con puntos. El péndulo simple es un sistema físico que ejemplifica un retrato de fase, así como el oscilador armónico, donde el retrato de fase se compone de formas elípticas centradas en el origen. (es)
- A phase portrait is a geometric representation of the trajectories of a dynamical system in the phase plane. Each set of initial conditions is represented by a different curve, or point. Phase portraits are an invaluable tool in studying dynamical systems. They consist of a plot of typical trajectories in the state space. This reveals information such as whether an attractor, a repellor or limit cycle is present for the chosen parameter value. The concept of topological equivalence is important in classifying the behaviour of systems by specifying when two different phase portraits represent the same qualitative dynamic behavior. An attractor is a stable point which is also called "sink". The repeller is considered as an unstable point, which is also known as "source". A phase portrait graph of a dynamical system depicts the system's trajectories (with arrows) and stable steady states (with dots) and unstable steady states (with circles) in a state space. The axes are of state variables. (en)
- Un portrait de phase est une représentation géométrique des trajectoires d'un système dynamique dans l'espace des phases : à chaque ensemble de conditions initiales correspond une courbe ou un point. (fr)
- Un ritratto di fase (talvolta chiamato con il nome inglese phase portrait) è una rappresentazione geometrica delle traiettorie di un sistema dinamico nello spazio delle fasi. Ogni insieme di condizioni iniziali è rappresentato da una differente curva o punto. I ritratti di fase sono uno strumento fondamentale nello studio dei sistemi dinamici. Costituiti dalla rappresentazione grafica delle tipiche traiettorie del sistema nello spazio di stato, rivelano informazioni riguardanti la presenza di attrattori, orbite periodiche e punti di equilibrio. Il concetto di è importante per classificare i diversi comportamenti dei sistemi studiati, in quanto è necessario per capire se due differenti ritratti di fase rappresentano qualitativamente lo stesso comportamento dinamico. In un ritratto di fase di un sistema dinamico vengono rappresentate le traiettorie del sistema (con delle frecce), gli stati di stabilità (con dei punti) e gli stati di instabilità (con dei cerchi) nello spazio di stato. Gli assi sono costituiti dalle variabili di stato. (it)
- Diagram fazowy, portret fazowy – zbiór punktów w przestrzeni fazowej reprezentujący możliwe ruchy dla zadanego hamiltonianu lub lagranżjanu. W pierwszym wypadku przestrzeń fazowa zawiera wymiarów przestrzennych i wymiarów pędowych, gdzie jest stopniem swobody układu opisywanego hamiltonianem. W przypadku mechaniki Lagrange'a wymiary pędowe są zastąpione przez wymiary prędkościowe. Wobec tego każdy punkt na diagramie fazowym odpowiada pewnemu położeniu w przestrzeni składowych układu (współrzędne przestrzenne punktu) i odpowiadającym im pędom (prędkościom). Dla układu, w którym położenia i pędy (prędkości) mogą przyjmować wartości ciągłe, diagram fazowy składa się zwykle z krzywych (zwanych krzywymi fazowymi). Niekiedy krzywe tworzą krzywą przełączeń, czyli krzywą względem której rozpatrywane jest badane zagadnienie. Diagram fazowy może jednak zawierać również odseparowane punkty. Z diagramu fazowego można łatwo odczytać charakter ruchu układu:
* ruch nieograniczony – krzywa fazowa „ucieka” do nieskończoności;
* ruch ograniczony – krzywa fazowa jest ograniczona w pewnym skończonym obszarze, istnieją dwa jego podtypy:
* ruch okresowy – krzywe fazowe są krzywymi zamkniętymi (np. drgania harmoniczne);
* ruch nieokresowy – krzywe fazowe są krzywymi otwartymi (np. drgania tłumione). Podprzestrzeń przestrzeni fazowej zawierająca tylko współrzędne przestrzenne jest nazywana przestrzenią konfiguracyjną, krzywe w tej przestrzeni to trajektorie. (pl)
- O retrato de fase é uma de todas as trajetórias de um sistema dinâmico no plano. Cada curva representa um diferente condição inicial. O retrato de fase é uma ferramenta valiosa no estudo dos sistemas dinâmicos autônomos de segunda ordem. A configuração das curvas no espaço de fase revela informaões sobre a existências de atratores, e . O conceito de desempenha um papel importante na classificação dos sistemas dinâmicos ao especificar quando dois sistemas diferentes apresentam o mesmo comportamento qualitativo. Sabendo as condições iniciais deste sistema, podemos descreve-lo como uma função do tempo se as condições de posição inicial e velocidade inicial é dada. Pode-se considerar das duas quantidades e como sendo coordenadas de um ponto em um espaço bidimensional, que é chamado de espaço de fase. Um espaço de fase pode ser construído para sistemas com mais de uma dimensão, entretanto se, por exemplo, se o sistema é bidimensional o espaço de fase terá quatro dimensões. A relação geral para um oscilador é dada por: n graus de liberdade o espaço de fase terá um espaço 2n dimensional. É possível prever que a medida que o tempo varia, o ponto agora dado por e que descreve o estado da partícula oscilatória irá se mover ao longo de um caminho de fase no plano descrito pelo caminho de fase. Entretanto, se as condições iniciais do sistema é diferente de um oscilador então o movimento será descrito por diferentes caminhos de fase. Onde qualquer caminho fornecido representa o histórico temporal completo do oscilador para uma determinada condição inicial. Assim, a totalidade de todos os caminhos de fase possíveis formam o que chamamos de diagrama de fase de um oscilador. Como já descrito neste trabalho as equações de posição e velocidade para um oscilador harmônico simples são dados por: x(t)=A sen (ω t- δ) (1-a) ẋ(t)=Aω co s(ω t- δ) (1-b) Se o tempo (t) for elimidado de ambas as equações tem-se uma expressão que representa uma família de elípses, e é dada por: ( x²)/A² + ẋ²/(A²ω ²)=1 (2) A partir da equação (9) e da relação pode-se substituir na equação (2) para obter: ( x²)/(2E⟋k) + ẋ²/(2E⟋m)=1 (3) Como estamos considerando sistemas conservativos, chega-se, então, a conclusão que cada caminho de fase corresponde á energia total definida do oscilador. Nesta representação (velocidade por espaço) os eixos de coordenadas do plano de fase foram escolhidos de modo que o movimento representativo p(x,) será invariavelmente em sentido horário, pois para x > 0 a velocidade será será sempre descrescente e para x < 0 a velocidade será sempre crescente. Neste tipo de sistema dois caminhos de fase de um oscilador não podem se cruzar, pois isto implicaria que para um determinado conjunto de condições iniciais x(t) e ẋ(t) o movimento poderia ocorrer ao longo de caminhos de fase diferentes, entretanto isto não é verdade já que a solução da equação diferencial é única. Para obter o diagrama de faseintegrasse a equação de elipse: (d²x)/dt² +ω²x=0 (4) Como um dos eixos cartesianos é ẋ, pode-se simplificar a solução da equação (4) substituindo apenas: (dx)/dt=ẋ e também, ( dẋ)/dt=-ω²x (5) Realizando mais uma manipulação matemática, dividi-se a equação (dẋ)/dt=-ω)²x por ẋ e assim obtém-se: (dẋ)/dt=-ω² x/ẋ (6) A solução da equação (6) é dada pela equação (2) descriminda acima (pg. 3). No caso do oscilador harmônico a simplificação feita aqui é bastante útil, porém para sistemas mais complexos pode ser mais simples a resolução da função ẋ(x) diretamente. Osciladores Amortecidos e Diagrama de Fase Antes de apresentar diagramas de fase para osciladores amortecidos e subamortecidos será feira uma breve introdução acerca destes tipos de osciladores. No caso descrito anteriormente, os osciladores harmônicos não apresentam perda de energia, ou seja, uma vez oscilantes permanecerá sempre neste movimento. Esta é uma simplificação bastante útil e valiosa para estudar fenômenos físicos oscilantes, porém na natureza não vemos osciladores harmônicos, mas sim osciladores amortecidos. Osciladores amortecidos são aqueles que apresentam forças de dissipação, como por exemplo, o atrito que irá atuar no freamento da oscilação até sua completa paralização. Neste trabalho adotaremos a força dissipativa como uma função linear da velocidade que será dada por F=αv também iremos considerar movimentos unidimensionais de forma que pode-se apresentar o termo de amortecimento por -b ẋ. Neste caso pode-se pensar que o no sistema amortecido, teremos o termo da equação de um sistema harmônico acrescido de um termo que represente a força de amortecimento, daí surge o termo de amortecimento dado acima. Onde o parâmetro b deve ser positivo para que a força seja resistiva, uma vez que devemos ter em mente que a força aqui considerada deve diminuir a velocidade do oscilador. Por isso, se considerássemos o parâmetro b um valor negativo então a velocidade do oscilador deveria aumentar. Sendo assim, pode-se considerar uma partícula de massa m que se move sob influencia de uma combinação de uma força restauradora –kx e uma força resistiva -b ẋ, portanto a equação diferencial para este sistema é dada por: mẍ +bẋ +kx=0 (7) Como definimos anteriormente ω_0≡√km, que é a frequência angular característica na ausência do amortecimento. E definido β≡b⟋2m como sendo o parâmetro de amortecimento, tem-se portanto substituindo na equação acima: ẍ +2βẋ +ω_0 ²x=0 (8) Temos que as raízes da equação são dadas por: R1=-β +√(β²+ω ²) (9) R2 = -β-√(β²-ω²) Desta forma, a solução para a equação (8) é dada por: x(t)= e^(-βt) [A_1 exp(√(β²-ω²) t)+ A_2 exp(-√(β^2-ω^2 ) t)] (10) A partir da equação (10) pode-se concluir que dependendo da relação entre ω² e β² tem-se resultados diferentes, a estes casos gerais especiais temos Sistemas de Oscilação Especiais Subamortecimento ω ² > β² Amortecimento crítico ω² = β² Sobreamortecimento ω ² < β² (pt)
- Фазовий портрет - зображення траєкторій динамічної системи у фазовому просторі. Кожен стан системи відповідає певній точці на фазовому портреті. Фазові портрети служать для наочного відображення особливостей еволюції динамічної системи: стаціонарних точок, циклів, басейнів притягання. Для двовимірної системи фазовий портрет повністю відображає типи траєкторій, які можуть реалізуватися. Для системи більшої вимірності будуються проєкції фазових траєкторій на вибрану площину фазового простору. (uk)
- 相圖是在用繪圖的方式在相平面上表示動態系統的軌跡。每一個不同的初始條件都用一條曲線（或是一個點）表示。 在研究動態系統時，相圖是很重要的工具。相圖是由在相空間中各點軌跡的組成。相圖可以看出動態系統在給定的參數下，是否有吸引子、排斥子或是极限环。的概念在為系統行為分類時非常重要，例如二個不同的相圖可能會出現相同的本質性動態特性。 在相圖中會描繪系統的軌跡（以箭頭表示）、穩定穩態（以黑點表示）及不穩定穩態（以圓圈點表示），相圖的軸對應狀態變數。 (zh)
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