In mathematics, particularly in dynamical systems, a first recurrence map or Poincaré map, named after Henri Poincaré, is the intersection of a periodic orbit in the state space of a continuous dynamical system with a certain lower-dimensional subspace, called the Poincaré section, transversal to the flow of the system. More precisely, one considers a periodic orbit with initial conditions within a section of the space, which leaves that section afterwards, and observes the point at which this orbit first returns to the section. One then creates a map to send the first point to the second, hence the name first recurrence map. The transversality of the Poincaré section means that periodic orbits starting on the subspace flow through it and not parallel to it.
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| - Poincaré-Abbildung (de)
- Aplicación de Poincaré (es)
- Application de Poincaré (fr)
- Mappa di Poincaré (it)
- ポアンカレ写像 (ja)
- Poincaré-afbeelding (nl)
- Poincaré map (en)
- Отображение Пуанкаре (ru)
- Відображення Пуанкаре (uk)
- 庞加莱映射 (zh)
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| rdfs:comment
| - Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche , dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte den jeweils nächsten zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamisches System. (de)
- Met behulp van de Poincaré-afbeelding onderzoekt men de (stabiliteit van) oplossingen van een dynamisch systeem.De Poincaré-afbeelding is onderdeel van de bifurcatietheorie (ook wel systeemtheorie of chaostheorie). Deze afbeelding is vernoemd naar zijn bedenker, de Fransman Henri Poincaré (1854-1912). De Poincaré-afbeelding wordt gemaakt door oplossingen van een systeem te volgen in de toestandsruimte en te kijken naar opeenvolgende snijpunten met een (bijvoorbeeld 2-dimensionale) deelruimte. De Poincaré-afbeelding zelf is een functie die ieder snijpunt afbeeldt op het volgende. (nl)
- 在数学领域中, 尤其是对动态系统的研究中, 庞加莱映射, 或第一次回归映射是的状态空间中的与确定的低维子空间的横向交点, 其中的低维子空间被称作庞加莱截面. 更精确的说, 对于具有初值位于庞加莱截面上的周期轨道, 轨道第一次回到庞加莱截面上的交点就定义了初值的庞加莱映射, 这就是第一次回归映射的由来. (zh)
- En matemáticas, y en particular en el campo de sistemas dinámicos, un mapa de Poincaré o primer mapa de recurrencia, es una aplicación definida no en el espacio de estados del sistema, sino en un subespacio de dimensión inferior llamado sección de Poincaré. Dicha aplicación lleva cada punto de dicha sección en el primer punto en el que la órbita que lo contiene retorna a la misma. Fue presentada por Henri Poincaré en 1881, quien la aplicó al estudio del problema de los tres cuerpos. (es)
- In mathematics, particularly in dynamical systems, a first recurrence map or Poincaré map, named after Henri Poincaré, is the intersection of a periodic orbit in the state space of a continuous dynamical system with a certain lower-dimensional subspace, called the Poincaré section, transversal to the flow of the system. More precisely, one considers a periodic orbit with initial conditions within a section of the space, which leaves that section afterwards, and observes the point at which this orbit first returns to the section. One then creates a map to send the first point to the second, hence the name first recurrence map. The transversality of the Poincaré section means that periodic orbits starting on the subspace flow through it and not parallel to it. (en)
- En mathématiques, particulièrement en système dynamique, une application de Poincaré, nommée en l'honneur de Henri Poincaré, est une application liée à une (en) dans l'espace d'états d'un système dynamique et un certain sous-espace de dimension moindre, appelé la section de Poincaré, transverse au flot du système. Plus précisément, on considère une orbite suffisamment proche d'une orbite périodique, avec une condition initiale sur la section de Poincaré, et on observe le point auquel cette orbite revient à la section pour la première fois, d'où ses autres noms, application de premier retour ou application de récurrence. La transversalité de la section de Poincaré fait référence au fait que l'orbite périodique commence au travers du flot du sous-espace et non pas de façon parallèle à celui (fr)
- 数学の、特に力学系の理論における第一回帰写像（first recurrence map）あるいはポアンカレ写像（ポアンカレしゃぞう、英: Poincaré map）とは、ある連続力学系のの周期軌道と、系のフローを横断するポアンカレ切断面と呼ばれる低次元の部分空間との共通部分のことを言う。アンリ・ポアンカレの名にちなむ。より正確に、空間のある切断面の中に初期点を持つ周期軌道がその面を離れ、再びその面に戻ってきたときの点を調べる。するとその初期点から第二の点への写像を作ることが出来、それが第一回帰写像と呼ばれる。ポアンカレ切断面の横断性は、その部分空間上を出発する周期軌道のフローは再びそれを通過し、平行にはならないことを意味する。 ポアンカレ写像は、元の連続力学系よりも次元が 1 小さい状態空間を持つ離散力学系と解釈することも出来る。それは元の系の周期軌道および準周期軌道の多くの性質を保存し、低次元の状態空間を持つため、元の系を解析する上でしばしば用いられる。しかし実際には、ポアンカレ写像を構成する一般の方法はないので、常に利用可能という訳ではない。 ポアンカレ写像は、ミシェル・エノンによって銀河の中の星の動きを研究するために用いられた。実際、ある平面上に射影される星の経路は、もつれ混沌としたものであったが、その構造をポアンカレ写像はより明確に表すものであった。 (ja)
- In matematica, e più precisamente nell'ambito dei sistemi dinamici, una mappa di primo ritorno o mappa di Poincaré, così chiamata in onore di Henri Poincaré, è l'intersezione di un'orbita periodica nello spazio delle fasi di un sistema dinamico continuo con un particolare sottospazio di minor dimensione, chiamato sezione di Poincaré, trasversale al flusso del sistema. Più precisamente si considera un'orbita periodica con origine sulla sezione di Poincaré e si osserva il punto nel quale l'orbita reinterseca per la prima volta la sezione, da cui il nome di mappa di primo ritorno. La trasversità della sezione di Poincaré significa che le orbite periodiche che si originano nel sottospazio lo attraversano invece di scorrere parallele a questo. (it)
- В теории динамических систем, разделе математики, отображение Пуанкаре (также отображение последования, отображение первого возвращения) — это проекция некоторой площадки в фазовом пространстве на себя (или на другую площадку) вдоль траекторий (фазовых кривых) системы. Аналогично можно определить отображение Пуанкаре (отображение последования) не только с трансверсали на себя, но и с одной трансверсали на другую. (ru)
- В теорії динамічних систем, розділі математики, відображення Пуанкаре (також відображення першого повернення) — це проєкція деякої площинки у фазовому просторі на себе (або на іншу площинку) уздовж траєкторій (фазових кривих) системи. Аналогічно можна визначити відображення Пуанкаре не тільки з трансверсалі на себе, але і з однієї трансверсалі на іншу. (uk)
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| - Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche , dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte den jeweils nächsten zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamisches System. (de)
- En matemáticas, y en particular en el campo de sistemas dinámicos, un mapa de Poincaré o primer mapa de recurrencia, es una aplicación definida no en el espacio de estados del sistema, sino en un subespacio de dimensión inferior llamado sección de Poincaré. Dicha aplicación lleva cada punto de dicha sección en el primer punto en el que la órbita que lo contiene retorna a la misma. Fue presentada por Henri Poincaré en 1881, quien la aplicó al estudio del problema de los tres cuerpos. Se exige que la sección de Poincaré sea transversal al flujo del sistema. Dicha transversalidad plasma la exigencia de que las órbitas que comienzan en la sección fluyan a través de la misma y no paralelas a ella. Una aplicación de Poincaré puede interpretarse como un sistema dinámico discreto con un espacio de estado con menor dimensión que el sistema continuo original. Como preserva algunas características esenciales del sistema original suele emplearse como un medio alternativo de analizar al mismo. Sin embargo, no siempre es posible hacer esto, puesto que no existe un método general para construir aplicaciones de Poincaré. La elección de la misma suele ir precedida de un análisis de la estabilidad lineal del sistema, para asegurar que la sección interseque a todas las órbitas de interés. La correspondencia entre una y otra visión es la siguiente:
* Una órbita periódica simple del sistema dinámico original se convierte en un único punto fijo en la sección de Poincaré.
* Una trayectoria cuasiperiódica en la imagen de una curva cerrada.
* Un movimiento caótico en una zona con puntos distribuidos de modo errático. (es)
- In mathematics, particularly in dynamical systems, a first recurrence map or Poincaré map, named after Henri Poincaré, is the intersection of a periodic orbit in the state space of a continuous dynamical system with a certain lower-dimensional subspace, called the Poincaré section, transversal to the flow of the system. More precisely, one considers a periodic orbit with initial conditions within a section of the space, which leaves that section afterwards, and observes the point at which this orbit first returns to the section. One then creates a map to send the first point to the second, hence the name first recurrence map. The transversality of the Poincaré section means that periodic orbits starting on the subspace flow through it and not parallel to it. A Poincaré map can be interpreted as a discrete dynamical system with a state space that is one dimension smaller than the original continuous dynamical system. Because it preserves many properties of periodic and quasiperiodic orbits of the original system and has a lower-dimensional state space, it is often used for analyzing the original system in a simpler way. In practice this is not always possible as there is no general method to construct a Poincaré map. A Poincaré map differs from a recurrence plot in that space, not time, determines when to plot a point. For instance, the locus of the Moon when the Earth is at perihelion is a recurrence plot; the locus of the Moon when it passes through the plane perpendicular to the Earth's orbit and passing through the Sun and the Earth at perihelion is a Poincaré map. It was used by Michel Hénon to study the motion of stars in a galaxy, because the path of a star projected onto a plane looks like a tangled mess, while the Poincaré map shows the structure more clearly. (en)
- En mathématiques, particulièrement en système dynamique, une application de Poincaré, nommée en l'honneur de Henri Poincaré, est une application liée à une (en) dans l'espace d'états d'un système dynamique et un certain sous-espace de dimension moindre, appelé la section de Poincaré, transverse au flot du système. Plus précisément, on considère une orbite suffisamment proche d'une orbite périodique, avec une condition initiale sur la section de Poincaré, et on observe le point auquel cette orbite revient à la section pour la première fois, d'où ses autres noms, application de premier retour ou application de récurrence. La transversalité de la section de Poincaré fait référence au fait que l'orbite périodique commence au travers du flot du sous-espace et non pas de façon parallèle à celui-ci.Une orbite est périodique si et seulement si sa condition initiale est un point fixe de l'application de Poincaré. Des théorèmes d'existence de solutions périodiques d'équations différentielles non linéaires (autonomes et non autonomes) découlent de l'utilisation de la théorie du degré topologique, en particulier du théorème du point fixe de Brouwer, pour l'application de Poincaré.De plus des approximations numériques de ces solutions périodiques et de leur période - dans le cas des systèmes autonomes- sont obtenues par la résolution numérique des points fixes de l'application de Poincaré, par l'intermédiaire d'applications de Poincaré approchées à l'aide des méthodes de discrétisation pour les problèmes de Cauchy. Une application de Poincaré peut être vue comme un système dynamique discret, avec un espace d'état de dimension égale à celle du système dynamique continu original, moins une. Comme ce nouveau système dynamique conserve plusieurs propriétés des orbites périodiques et quasi périodiques du système original et comme le nouveau système comporte un espace d'états de dimension inférieure, il est souvent utile pour l'analyse du système original. Par contre, ceci n'est pas toujours possible en pratique, puisqu'il n'existe aucune méthode générale de construction de l'application de Poincaré. Une application de Poincaré diffère d'un (en) du fait que c'est l'espace et non le temps qui détermine lorsqu'un point est traité. Par exemple, le locus de la Lune au moment où la Terre est à l'apside est un graphe de récurrence, tandis que le locus de la Lune au moment où elle passe au travers du plan perpendiculaire à l'orbite terrestre et passant au travers du Soleil au périhélie est une application de Poincaré. L'application de Poincaré a été utilisée par Michel Hénon pour l'étude du mouvement des étoiles dans une galaxie : le chemin emprunté par une étoile, lorsque projeté sur un plan, a l'apparence d'un désordre inscrutable, tandis que l'application de Poincaré en montre la structure plus clairement. (fr)
- 数学の、特に力学系の理論における第一回帰写像（first recurrence map）あるいはポアンカレ写像（ポアンカレしゃぞう、英: Poincaré map）とは、ある連続力学系のの周期軌道と、系のフローを横断するポアンカレ切断面と呼ばれる低次元の部分空間との共通部分のことを言う。アンリ・ポアンカレの名にちなむ。より正確に、空間のある切断面の中に初期点を持つ周期軌道がその面を離れ、再びその面に戻ってきたときの点を調べる。するとその初期点から第二の点への写像を作ることが出来、それが第一回帰写像と呼ばれる。ポアンカレ切断面の横断性は、その部分空間上を出発する周期軌道のフローは再びそれを通過し、平行にはならないことを意味する。 ポアンカレ写像は、元の連続力学系よりも次元が 1 小さい状態空間を持つ離散力学系と解釈することも出来る。それは元の系の周期軌道および準周期軌道の多くの性質を保存し、低次元の状態空間を持つため、元の系を解析する上でしばしば用いられる。しかし実際には、ポアンカレ写像を構成する一般の方法はないので、常に利用可能という訳ではない。 ポアンカレ写像は、その空間のリカレンスプロットとは異なり、時間ではなく、ある点をいつプロットするかを決定するものである。例えば、地球が近日点にあるときの月の位置は再帰プロットである。一方、地球の軌道と垂直に交わる平面を通過し、太陽と近日点にある地球を通過するときの月の位置はポアンカレ写像である。 ポアンカレ写像は、ミシェル・エノンによって銀河の中の星の動きを研究するために用いられた。実際、ある平面上に射影される星の経路は、もつれ混沌としたものであったが、その構造をポアンカレ写像はより明確に表すものであった。 (ja)
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