In game theory, the purification theorem was contributed by Nobel laureate John Harsanyi in 1973. The theorem aims to justify a puzzling aspect of mixed strategy Nash equilibria: that each player is wholly indifferent amongst each of the actions he puts non-zero weight on, yet he mixes them so as to make every other player also indifferent. The result is also an important aspect of modern-day inquiries in evolutionary game theory where the perturbed values are interpreted as distributions over types of players randomly paired in a population to play games.
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| - 純化定理 (ja)
- Purification theorem (en)
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| - In game theory, the purification theorem was contributed by Nobel laureate John Harsanyi in 1973. The theorem aims to justify a puzzling aspect of mixed strategy Nash equilibria: that each player is wholly indifferent amongst each of the actions he puts non-zero weight on, yet he mixes them so as to make every other player also indifferent. The result is also an important aspect of modern-day inquiries in evolutionary game theory where the perturbed values are interpreted as distributions over types of players randomly paired in a population to play games. (en)
- ゲーム理論における純化定理 (じゅんかていり，英: purification theorem) は，ノーベル経済学賞ジョン・ハーサニの 1973 年論文による貢献である．この定理は，ナッシュ均衡において，各プレーヤーは正確率で選ぶすべての行動について完全に無差別であるにもかかわらず，他のプレーヤーにとっても無差別にするためにそれらの行動を混合している，という不可解な側面について正当化することを狙ったものである． 混合戦略均衡は，各プレーヤーの利得が自分以外のプレーヤーには知られていないような不完備情報の変動ゲームの，均衡の極限として説明される．そのアイデアは，もとの理想化されたゲームを設計した理論家からは観察されないような，ゲームの漸次改善されていく近似として，もとのゲームで予測された混合戦略が生じてくるというものである． 戦略が外見的には混合されてみえる性質は，実際にはただ，プレーヤーがもつ利得の連続体の上の事前分布に依存して決まる閾値とあわせて純粋戦略をプレーするプレーヤーの結果である．この連続体が 0 に縮んでいくにつれて，プレーヤーたちの戦略は，もとの，変動していないにおいて予測されたナッシュ均衡に収束する． (ja)
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| - Fig. 1: a Hawk–Dove game (en)
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| - In game theory, the purification theorem was contributed by Nobel laureate John Harsanyi in 1973. The theorem aims to justify a puzzling aspect of mixed strategy Nash equilibria: that each player is wholly indifferent amongst each of the actions he puts non-zero weight on, yet he mixes them so as to make every other player also indifferent. The mixed strategy equilibria are explained as being the limit of pure strategy equilibria for a disturbed game of incomplete information in which the payoffs of each player are known to themselves but not their opponents. The idea is that the predicted mixed strategy of the original game emerge as ever improving approximations of a game that is not observed by the theorist who designed the original, idealized game. The apparently mixed nature of the strategy is actually just the result of each player playing a pure strategy with threshold values that depend on the ex-ante distribution over the continuum of payoffs that a player can have. As that continuum shrinks to zero, the players strategies converge to the predicted Nash equilibria of the original, unperturbed, complete information game. The result is also an important aspect of modern-day inquiries in evolutionary game theory where the perturbed values are interpreted as distributions over types of players randomly paired in a population to play games. (en)
- ゲーム理論における純化定理 (じゅんかていり，英: purification theorem) は，ノーベル経済学賞ジョン・ハーサニの 1973 年論文による貢献である．この定理は，ナッシュ均衡において，各プレーヤーは正確率で選ぶすべての行動について完全に無差別であるにもかかわらず，他のプレーヤーにとっても無差別にするためにそれらの行動を混合している，という不可解な側面について正当化することを狙ったものである． 混合戦略均衡は，各プレーヤーの利得が自分以外のプレーヤーには知られていないような不完備情報の変動ゲームの，均衡の極限として説明される．そのアイデアは，もとの理想化されたゲームを設計した理論家からは観察されないような，ゲームの漸次改善されていく近似として，もとのゲームで予測された混合戦略が生じてくるというものである． 戦略が外見的には混合されてみえる性質は，実際にはただ，プレーヤーがもつ利得の連続体の上の事前分布に依存して決まる閾値とあわせて純粋戦略をプレーするプレーヤーの結果である．この連続体が 0 に縮んでいくにつれて，プレーヤーたちの戦略は，もとの，変動していないにおいて予測されたナッシュ均衡に収束する． この結果は，進化ゲーム理論の今日の研究における重要な一面にもなっている．そこではこの変動する値は，ゲームをプレーする集団内で無作為にペアになるプレーヤーたちのタイプの上の分布と解釈されている． (ja)
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