In algebra, a Pythagorean field is a field in which every sum of two squares is a square: equivalently it has Pythagoras number equal to 1. A Pythagorean extension of a field is an extension obtained by adjoining an element for some in . So a Pythagorean field is one closed under taking Pythagorean extensions. For any field there is a minimal Pythagorean field containing it, unique up to isomorphism, called its Pythagorean closure. The Hilbert field is the minimal ordered Pythagorean field.
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| - Pythagoreischer Körper (de)
- Corps pythagoricien (fr)
- 피타고라스 체 (ko)
- Pythagorean field (en)
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| - In algebra, a Pythagorean field is a field in which every sum of two squares is a square: equivalently it has Pythagoras number equal to 1. A Pythagorean extension of a field is an extension obtained by adjoining an element for some in . So a Pythagorean field is one closed under taking Pythagorean extensions. For any field there is a minimal Pythagorean field containing it, unique up to isomorphism, called its Pythagorean closure. The Hilbert field is the minimal ordered Pythagorean field. (en)
- En algèbre, un corps pythagoricien est un corps (commutatif) dans lequel toute somme de deux carrés est un carré, autrement dit : un corps dont le nombre de Pythagore est égal à 1. Une extension pythagoricienne d'un corps F est une extension quadratique de la forme F(√1 + λ2) pour un certain élément λ de F. Un corps est donc pythagoricien s'il est fermé par extensions pythagoriciennes. La clôture pythagoricienne d'un corps F, notée Fpy, est le « plus petit » corps pythagoricien contenant F. Le « corps de Hilbert » est le plus petit corps pythagoricien ordonné. (fr)
- 체론에서, 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 영어: Pythagorean field)는 제곱수들의 합이 제곱수인 체이다. (ko)
- In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge von Elementen („Zahlen“), auf der die vier Grundrechenarten gemäß gewisser Regeln anwendbar sind. Dieser Körper wird als pythagoreisch bezeichnet, wenn zusätzlich jede (endliche) Summe von Quadratzahlen des Körpers immer noch eine Quadratzahl ist. Dies ist nicht selbstverständlich: Ein aus der Schulmathematik bekannter Körper ist derjenige der Bruchzahlen. Jede beliebige Summe oder Differenz, jedes Produkt und jeder Quotient ist darin immer ermittelbar. Da keine rationale Quadratzahl ist, ist dieser Körper nicht pythagoreisch. (de)
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| - In der Mathematik bezeichnet ein Körper eine Menge von Elementen („Zahlen“), auf der die vier Grundrechenarten gemäß gewisser Regeln anwendbar sind. Dieser Körper wird als pythagoreisch bezeichnet, wenn zusätzlich jede (endliche) Summe von Quadratzahlen des Körpers immer noch eine Quadratzahl ist. Dies ist nicht selbstverständlich: Ein aus der Schulmathematik bekannter Körper ist derjenige der Bruchzahlen. Jede beliebige Summe oder Differenz, jedes Produkt und jeder Quotient ist darin immer ermittelbar. Da keine rationale Quadratzahl ist, ist dieser Körper nicht pythagoreisch. Pythagoreische Körper spielen eine wichtige Rolle in der synthetischen Geometrie, dort wird häufig zusätzlich gefordert, dass −1 keine Quadratzahl sein soll. Sie sind dann formal reelle pythagoreische Körper. – Bei der üblichen Auffassung, dass 0 keine Quadratzahl ist, die auch in diesem Artikel verwendet wird, ergibt sich die Zusatzeigenschaft bereits aus der Definition des pythagoreischen Körpers. Bei diesen Körpern ist stets eine Anordnung möglich. Eine präeuklidische Ebene über einem formal reellen pythagoreischen Körper, in der die Orthogonalitätskonstante zu −1 normiert werden kann, wird auch als pythagoreische Ebene bezeichnet. In solchen Ebenen können Winkelhalbierende konstruiert werden und es lässt sich ein Abstandsbegriff zwischen Punkten einführen, der auf dem Satz des Pythagoras der euklidischen Ebenen beruht. Dies ist einer der Anlässe für die Bezeichnung „pythagoreisch“. Eine gewisse Bedeutung haben pythagoreische Körper und vor allem pythagoreische Erweiterungen für die Frage der Lösbarkeit von diophantischen Gleichungen in der elementaren Zahlentheorie. Jeder euklidische Körper ist ein formal reeller pythagoreischer Körper. Alle diese Körper haben stets die Charakteristik 0 und enthalten immer unendlich viele Elemente. (de)
- In algebra, a Pythagorean field is a field in which every sum of two squares is a square: equivalently it has Pythagoras number equal to 1. A Pythagorean extension of a field is an extension obtained by adjoining an element for some in . So a Pythagorean field is one closed under taking Pythagorean extensions. For any field there is a minimal Pythagorean field containing it, unique up to isomorphism, called its Pythagorean closure. The Hilbert field is the minimal ordered Pythagorean field. (en)
- En algèbre, un corps pythagoricien est un corps (commutatif) dans lequel toute somme de deux carrés est un carré, autrement dit : un corps dont le nombre de Pythagore est égal à 1. Une extension pythagoricienne d'un corps F est une extension quadratique de la forme F(√1 + λ2) pour un certain élément λ de F. Un corps est donc pythagoricien s'il est fermé par extensions pythagoriciennes. La clôture pythagoricienne d'un corps F, notée Fpy, est le « plus petit » corps pythagoricien contenant F. Le « corps de Hilbert » est le plus petit corps pythagoricien ordonné. (fr)
- 체론에서, 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 영어: Pythagorean field)는 제곱수들의 합이 제곱수인 체이다. (ko)
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