In mathematics, more specifically category theory, a quasi-category (also called quasicategory, weak Kan complex, inner Kan complex, infinity category, ∞-category, Boardman complex, quategory) is a generalization of the notion of a category. The study of such generalizations is known as higher category theory.
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| - Unendlich-Kategorie (de)
- Quasi-catégorie (fr)
- 擬圏 (ja)
- Quasi-category (en)
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| - In der Mathematik ist der Begriff der Unendlich-Kategorie, -Kategorie oder Quasikategorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Kategorie. Während man in einer Kategorie Morphismen zwischen Objekten und in einer 2-Kategorie zusätzlich 2-Morphismen zwischen Morphismen hat, gibt es in einer Unendlich-Kategorie -Morphismen zwischen -Morphismen für alle (de)
- 擬圏（英: quasi-category、弱Kan複体、内部Kan複体、無限圏、 ∞-圏、ボードマン複体、クォータゴリーとも呼ばれる）とは、圏の一般化である。このような一般化の研究は、高次圏論として知られている。 擬圏は、 によって導入された。アンドレ・ジョヤルは擬圏の研究を大幅に進歩させ、圏論における概念や定理の多くが擬圏に対する類似を持つことを示した。 擬圏はある種の単体的集合として定義される。通常の圏と同様、対象（0-単体）と対象間の射（1-単体）が含まれる。ただし、圏とは異なり、射の合成は一意的とは限らない。与えられた2つの射の合成として構成できるすべての射は、高次の可逆射によって相互に関連付けられる。高次の射に対しても合成が定義できるが、それはさらに高次の可逆射の分の不定性を持つ。 高次圏論（少なくとも、高次の射が可逆であるもの）の特徴は、通常の圏論とは対照的に、2つの対象の間に（単なる集合ではなく）射の空間を考えるという点である。これは位相空間の圏で豊穣化された圏、すなわち位相圏（topological category）を高次圏とみなす視点を与える。しかしルーリーは位相圏のなすモデル圏と擬圏のモデル圏がキレン同値であることを示しており、この意味で位相圏の理論と擬圏の理論は等価である。 (ja)
- In mathematics, more specifically category theory, a quasi-category (also called quasicategory, weak Kan complex, inner Kan complex, infinity category, ∞-category, Boardman complex, quategory) is a generalization of the notion of a category. The study of such generalizations is known as higher category theory. (en)
- En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une quasi-catégorie est une généralisation de la notion de catégorie. L'étude de telles généralisations est connue sous le nom de théorie des catégories supérieures. (fr)
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| - In der Mathematik ist der Begriff der Unendlich-Kategorie, -Kategorie oder Quasikategorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Kategorie. Während man in einer Kategorie Morphismen zwischen Objekten und in einer 2-Kategorie zusätzlich 2-Morphismen zwischen Morphismen hat, gibt es in einer Unendlich-Kategorie -Morphismen zwischen -Morphismen für alle (de)
- En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une quasi-catégorie est une généralisation de la notion de catégorie. L'étude de telles généralisations est connue sous le nom de théorie des catégories supérieures. Les quasi-catégories ont été introduites par (de) et Vogt en 1973. André Joyal a fait beaucoup progresser l'étude des quasi-catégories en montrant qu’il existe un analogue pour les quasi-catégories de la plupart des notions de base de la théorie des catégories et même de certaines notions et théorèmes d’un niveau plus avancé. Jacob Lurie a écrit un traité détaillé sur cette théorie en 2009. Les quasi-catégories sont des ensembles simpliciaux d’un type particulier. Comme les catégories ordinaires, elles contiennent des objets, les 0-simplexes de l'ensemble simplicial et des morphismes entre ces objets, les 1-simplexes. Mais contrairement aux catégories standard, la composition de deux morphismes n'est pas définie de manière unique. Tous les morphismes qui peuvent servir de composition entre deux morphismes donnés sont reliés entre eux par des morphismes inversibles d'ordre supérieur (2-simplexes considérés comme « homotopies »). Ces morphismes d'ordre supérieur peuvent également être composés, mais encore une fois la composition n'est bien définie qu'à des morphismes inversibles d’ordre encore plus élevé près, etc. L'idée sous-jacente de la théorie des catégories supérieures (du moins lorsque les morphismes supérieurs sont inversibles) est de munir, contrairement à ce que l’on fait en théorie des catégories standard, l’ensemble des morphismes entre deux objets d’une structure d’espace topologique. Cela suggère qu'une catégorie supérieure devrait simplement être une catégorie topologiquement enrichie. Le modèle des quasi-catégories est toutefois mieux adapté aux applications que celui des catégories topologiquement enrichies, bien que Lurie ait prouvé que les deux ont des modèles naturels (en). (fr)
- In mathematics, more specifically category theory, a quasi-category (also called quasicategory, weak Kan complex, inner Kan complex, infinity category, ∞-category, Boardman complex, quategory) is a generalization of the notion of a category. The study of such generalizations is known as higher category theory. Quasi-categories were introduced by . André Joyal has much advanced the study of quasi-categories showing that most of the usual basic category theory and some of the advanced notions and theorems have their analogues for quasi-categories. An elaborate treatise of the theory of quasi-categories has been expounded by Jacob Lurie. Quasi-categories are certain simplicial sets. Like ordinary categories, they contain objects (the 0-simplices of the simplicial set) and morphisms between these objects (1-simplices). But unlike categories, the composition of two morphisms need not be uniquely defined. All the morphisms that can serve as composition of two given morphisms are related to each other by higher order invertible morphisms (2-simplices thought of as "homotopies"). These higher order morphisms can also be composed, but again the composition is well-defined only up to still higher order invertible morphisms, etc. The idea of higher category theory (at least, higher category theory when higher morphisms are invertible) is that, as opposed to the standard notion of a category, there should be a mapping space (rather than a mapping set) between two objects. This suggests that a higher category should simply be a topologically enriched category. The model of quasi-categories is, however, better suited to applications than that of topologically enriched categories, though it has been proved by Lurie that the two have natural model structures that are Quillen equivalent. (en)
- 擬圏（英: quasi-category、弱Kan複体、内部Kan複体、無限圏、 ∞-圏、ボードマン複体、クォータゴリーとも呼ばれる）とは、圏の一般化である。このような一般化の研究は、高次圏論として知られている。 擬圏は、 によって導入された。アンドレ・ジョヤルは擬圏の研究を大幅に進歩させ、圏論における概念や定理の多くが擬圏に対する類似を持つことを示した。 擬圏はある種の単体的集合として定義される。通常の圏と同様、対象（0-単体）と対象間の射（1-単体）が含まれる。ただし、圏とは異なり、射の合成は一意的とは限らない。与えられた2つの射の合成として構成できるすべての射は、高次の可逆射によって相互に関連付けられる。高次の射に対しても合成が定義できるが、それはさらに高次の可逆射の分の不定性を持つ。 高次圏論（少なくとも、高次の射が可逆であるもの）の特徴は、通常の圏論とは対照的に、2つの対象の間に（単なる集合ではなく）射の空間を考えるという点である。これは位相空間の圏で豊穣化された圏、すなわち位相圏（topological category）を高次圏とみなす視点を与える。しかしルーリーは位相圏のなすモデル圏と擬圏のモデル圏がキレン同値であることを示しており、この意味で位相圏の理論と擬圏の理論は等価である。 (ja)
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