In algebraic geometry, a morphism between schemes is said to be quasi-compact if Y can be covered by open affine subschemes such that the pre-images are quasi-compact (as topological space). If f is quasi-compact, then the pre-image of a quasi-compact open subscheme (e.g., open affine subscheme) under f is quasi-compact. A morphism from a quasi-compact scheme to an affine scheme is quasi-compact. Let be a quasi-compact morphism between schemes. Then is closed if and only if it is stable under specialization. A quasi-compact scheme has at least one closed point.
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| - 準コンパクト射 (ja)
- Quasi-compact morphism (en)
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| - In algebraic geometry, a morphism between schemes is said to be quasi-compact if Y can be covered by open affine subschemes such that the pre-images are quasi-compact (as topological space). If f is quasi-compact, then the pre-image of a quasi-compact open subscheme (e.g., open affine subscheme) under f is quasi-compact. A morphism from a quasi-compact scheme to an affine scheme is quasi-compact. Let be a quasi-compact morphism between schemes. Then is closed if and only if it is stable under specialization. A quasi-compact scheme has at least one closed point. (en)
- 代数幾何学において、スキームの射 が準コンパクト射（じゅんコンパクトしゃ、英: quasi-compact morphism）であるとは、Y にある開アフィン部分スキーム による被覆が存在して、原像 が全て位相空間として準コンパクトとなることを言う。f が準コンパクトであれば、f による準コンパクト開部分スキーム（例えば開アフィン部分スキーム）の原像は準コンパクトである。 準コンパクト射の定義において、「開アフィン部分スキームによる被覆」を「準コンパクトな開部分スキームによる被覆」に弱めることは、意味が変わってしまうためできない。例として、根基イデアルについて昇鎖条件を満たさない環 A をとり、 と置く。X は準コンパクトではない開部分集合 U を含む。Y を、2つの X を U で貼り合わせたスキームとする。X と Y はともに準コンパクトである。 を X の1つのコピーの包含関係による自然な射とすると、もう1つの X （これは Y の開アフィン）のこの射による原像は U であり、これは準コンパクトではない。したがって、f は準コンパクト射ではない。 準コンパクトスキームからアフィンスキームへの射は準コンパクトである。 をスキームの準コンパクト射とする。このとき、 が閉となるのは、特殊化で安定しているとき、かつそのときに限る。 準コンパクトスキームは少なくとも1つの閉点を持つ。 (ja)
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| - In algebraic geometry, a morphism between schemes is said to be quasi-compact if Y can be covered by open affine subschemes such that the pre-images are quasi-compact (as topological space). If f is quasi-compact, then the pre-image of a quasi-compact open subscheme (e.g., open affine subscheme) under f is quasi-compact. It is not enough that Y admits a covering by quasi-compact open subschemes whose pre-images are quasi-compact. To give an example, let A be a ring that does not satisfy the ascending chain conditions on radical ideals, and put . X contains an open subset U that is not quasi-compact. Let Y be the scheme obtained by gluing two X's along U. X, Y are both quasi-compact. If is the inclusion of one of the copies of X, then the pre-image of the other X, open affine in Y, is U, not quasi-compact. Hence, f is not quasi-compact. A morphism from a quasi-compact scheme to an affine scheme is quasi-compact. Let be a quasi-compact morphism between schemes. Then is closed if and only if it is stable under specialization. The composition of quasi-compact morphisms is quasi-compact. The base change of a quasi-compact morphism is quasi-compact. An affine scheme is quasi-compact. In fact, a scheme is quasi-compact if and only if it is a finite union of open affine subschemes. gives a necessary and sufficient condition for a quasi-compact scheme to be affine. A quasi-compact scheme has at least one closed point. (en)
- 代数幾何学において、スキームの射 が準コンパクト射（じゅんコンパクトしゃ、英: quasi-compact morphism）であるとは、Y にある開アフィン部分スキーム による被覆が存在して、原像 が全て位相空間として準コンパクトとなることを言う。f が準コンパクトであれば、f による準コンパクト開部分スキーム（例えば開アフィン部分スキーム）の原像は準コンパクトである。 準コンパクト射の定義において、「開アフィン部分スキームによる被覆」を「準コンパクトな開部分スキームによる被覆」に弱めることは、意味が変わってしまうためできない。例として、根基イデアルについて昇鎖条件を満たさない環 A をとり、 と置く。X は準コンパクトではない開部分集合 U を含む。Y を、2つの X を U で貼り合わせたスキームとする。X と Y はともに準コンパクトである。 を X の1つのコピーの包含関係による自然な射とすると、もう1つの X （これは Y の開アフィン）のこの射による原像は U であり、これは準コンパクトではない。したがって、f は準コンパクト射ではない。 準コンパクトスキームからアフィンスキームへの射は準コンパクトである。 をスキームの準コンパクト射とする。このとき、 が閉となるのは、特殊化で安定しているとき、かつそのときに限る。 準コンパクト射の合成は準コンパクトである。準コンパクト射を基底変換したものは準コンパクトである。 アフィンスキームは準コンパクトである。スキームが準コンパクトであるのは、開アフィン部分スキームの有限和のときだけであり、かつそのときに限る。は、準コンパクトスキームがアフィンであるための必要十分条件を与える。 準コンパクトスキームは少なくとも1つの閉点を持つ。 (ja)
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