In algebraic geometry, a branch of mathematics, a morphism f : X → Y of schemes is quasi-finite if it is of finite type and satisfies any of the following equivalent conditions:
* Every point x of X is isolated in its fiber f−1(f(x)). In other words, every fiber is a discrete (hence finite) set.
* For every point x of X, the scheme f−1(f(x)) = X ×YSpec κ(f(x)) is a finite κ(f(x)) scheme. (Here κ(p) is the residue field at a point p.)
* For every point x of X, is finitely generated over .
| Attributes | Values |
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| rdfs:label
| - 準有限射 (ja)
- Quasi-finite morphism (en)
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| rdfs:comment
| - In algebraic geometry, a branch of mathematics, a morphism f : X → Y of schemes is quasi-finite if it is of finite type and satisfies any of the following equivalent conditions:
* Every point x of X is isolated in its fiber f−1(f(x)). In other words, every fiber is a discrete (hence finite) set.
* For every point x of X, the scheme f−1(f(x)) = X ×YSpec κ(f(x)) is a finite κ(f(x)) scheme. (Here κ(p) is the residue field at a point p.)
* For every point x of X, is finitely generated over . (en)
- 数学の1分野である代数幾何学において、スキームの射 f : X → Y が準有限（じゅんゆうげん、英: quasi-finite）であるとは、かつ以下の同値な条件をいずれか１つ、したがって全てを満たすことを言う。
* X の全ての点 x はファイバー f−1(f(x)) の中で孤立している。言い換えれば、全てのファイバーは離散集合（したがって有限集合）である。
* X の全ての点 x に対して、スキーム f−1(f(x)) = X ×YSpec κ(f(x)) は有限 κ(f(x)) スキームである。ここで、κ(p) は点 p での剰余体である。
* X の全ての点 x に対して、 は 上有限生成である。 準有限射はアレクサンドル・グロタンディークにより SGA 1 の中で初めて定義されたが、そのときは有限型という仮定はついていなかった。この仮定は、のちに EGA II 6.2 で定義されたときに、準有限性を茎を使って代数的に特徴づけるために追加された。 (ja)
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| - In algebraic geometry, a branch of mathematics, a morphism f : X → Y of schemes is quasi-finite if it is of finite type and satisfies any of the following equivalent conditions:
* Every point x of X is isolated in its fiber f−1(f(x)). In other words, every fiber is a discrete (hence finite) set.
* For every point x of X, the scheme f−1(f(x)) = X ×YSpec κ(f(x)) is a finite κ(f(x)) scheme. (Here κ(p) is the residue field at a point p.)
* For every point x of X, is finitely generated over . Quasi-finite morphisms were originally defined by Alexander Grothendieck in SGA 1 and did not include the finite type hypothesis. This hypothesis was added to the definition in EGA II 6.2 because it makes it possible to give an algebraic characterization of quasi-finiteness in terms of stalks. For a general morphism f : X → Y and a point x in X, f is said to be quasi-finite at x if there exist open affine neighborhoods U of x and V of f(x) such that f(U) is contained in V and such that the restriction f : U → V is quasi-finite. f is locally quasi-finite if it is quasi-finite at every point in X. A quasi-compact locally quasi-finite morphism is quasi-finite. (en)
- 数学の1分野である代数幾何学において、スキームの射 f : X → Y が準有限（じゅんゆうげん、英: quasi-finite）であるとは、かつ以下の同値な条件をいずれか１つ、したがって全てを満たすことを言う。
* X の全ての点 x はファイバー f−1(f(x)) の中で孤立している。言い換えれば、全てのファイバーは離散集合（したがって有限集合）である。
* X の全ての点 x に対して、スキーム f−1(f(x)) = X ×YSpec κ(f(x)) は有限 κ(f(x)) スキームである。ここで、κ(p) は点 p での剰余体である。
* X の全ての点 x に対して、 は 上有限生成である。 準有限射はアレクサンドル・グロタンディークにより SGA 1 の中で初めて定義されたが、そのときは有限型という仮定はついていなかった。この仮定は、のちに EGA II 6.2 で定義されたときに、準有限性を茎を使って代数的に特徴づけるために追加された。 スキームの射 f : X → Y と X の点 x に対して、f が x で準有限とは、x の開アフィン近傍 U と f(x) の開アフィン近傍 V が存在して、f(U) が V に含まれ、制限 f : U → V が準有限であることを言う。f が局所的に準有限（locally quasi-finite）とは、X の全ての点で準有限であることを言う。準コンパクトかつ局所的に準有限な射は準有限射である。 (ja)
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