About: Rank–nullity theorem

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The rank–nullity theorem is a theorem in linear algebra, which asserts that the dimension of the domain of a linear map is the sum of its rank (the dimension of its image) and its nullity (the dimension of its kernel).

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rdfs:label	Věty o dimenzi (cs) Rangsatz (de) Teorema rango-nulidad (es) Théorème du rang (fr) Teorema del rango (it) 계수-퇴화차수 정리 (ko) 階数・退化次数の定理 (ja) Rank–nullity theorem (en) Twierdzenie o rzędzie (pl) Teorema do núcleo e da imagem (pt) Dimensionssatsen (sv) 秩－零化度定理 (zh)
rdfs:comment	V lineární algebře se dokazují dvě užitečná tvrzení svazující dimenze jistých podprostorů vektorového prostoru. Mějme vektorový prostor V nad nějakým tělesem. První tvrzení dává do souvislosti dimenze dvou vektorových podprostorů prostoru V a dimenzí jejich a průniku - tzv. první věta o dimemzi zvaná též věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů. Druhé tvrzení pak udává vztah mezi dimenzemi jádra a oboru hodnot libovolného lineárního zobrazení (konečněrozměrného) mezi dvěma vektorovými prostory - tzv. druhá věta o dimenzi, nazývaná také věta o dimenzi jádra a obrazu. (cs) Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Definitionsmenge, des Kerns und des Bildes einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen auf. (de) En matemáticas, el teorema rango–nulidad es un teorema en álgebra lineal, que dice que la dimensión del dominio de una transformación lineal es la suma de su rango (dimensión de su imagen) y su nulidad (la dimensión de su kernel). (es) En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, le théorème du rang lie le rang d'une application linéaire et la dimension de son noyau. C'est un corollaire d'un théorème d'isomorphisme. Il peut être interprété par la notion d'indice d'application linéaire. En dimension finie, il permet notamment de caractériser l'inversibilité d'une application linéaire ou d'une matrice par son rang. (fr) The rank–nullity theorem is a theorem in linear algebra, which asserts that the dimension of the domain of a linear map is the sum of its rank (the dimension of its image) and its nullity (the dimension of its kernel). (en) 선형대수학에서 계수-퇴화차수 정리(영어: rank-nullity theorem)는 행렬의 상과 핵의 차원의 관계에 대한 정리이다. (ko) 数学の線型代数学の分野における階数・退化次数の定理（かいすう・たいかじすうのていり、英: rank–nullity theorem）とは、最も簡単な場合、ある行列の階数（rank）と退化次数（nullity）の和は、その行列の列の数に等しいということを述べた定理である。次元定理とも呼ばれる。 (ja) In algebra lineare, il teorema del rango, detto anche teorema di nullità più rango, o teorema della dimensione, afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio di tale trasformazione lineare; equivalentemente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice. (it) Dimensionssatsen är en sats inom linjär algebra om det samband som finns mellan nollrummet och värderummet till en linjär avbildning och dess dimensioner: Om och är två vektorrum och är en linjär avbildning så gäller: (sv) 秩－零化度定理是线性代数中的一个定理，给出了一个线性变换或一个矩阵的秩和它的零化度之间的关系。对一个元素在域中的矩阵，秩－零化度定理说明，它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等于：同样的，对于一个从线性空间射到线性空间的线性变换，的秩是它的象的维度，的零化度是它的核（零空间）的维度。我们有：也就是：实际上定理在更广的范围内也成立，因为和可以是无限维的。 (zh) Twierdzenie o rzędzie – twierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz . (pl) Em matemática, mais especificamente em álgebra linear, o teorema do núcleo e da imagem, em sua forma mais simples, afirma que o posto e a nulidade de uma matriz têm como soma o número de colunas da matriz. Especificamente, se A é uma matriz m-por-n (com m linhas e n colunas) sobre um corpo, então: Mais geralmente, pode-se considerar a imagem, o núcleo, a co-imagem e o co-núcleo, que estão relacionados pelo teorema fundamental da álgebra linear. (pt)
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