In mathematics, the Riemann–Siegel theta function is defined in terms of the gamma function as for real values of t. Here the argument is chosen in such a way that a continuous function is obtained and holds, i.e., in the same way that the principal branch of the log-gamma function is defined. It has an asymptotic expansion which is not convergent, but whose first few terms give a good approximation for . Its Taylor-series at 0 which converges for is
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| - Riemann-Siegelsche Theta-Funktion (de)
- Fonction thêta de Riemann-Siegel (fr)
- Riemann-Siegel-thèta-functie (nl)
- Riemann–Siegel theta function (en)
- Riemann–Siegels thetafunktion (sv)
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| rdfs:comment
| - Inom matematiken är Riemann–Siegels thetafunktion en speciell funktion definierad med hjälp av gammafunktionen som för reella värden på t. Här väjs argumentet så att man får en kontinuerlig funktion och så att . Den har den som inte konvergerar, men vars första termer ger en god approximation för . Dess Taylorserie runt 0 konvergerar för och ges av där betecknar polygammafunktionen av ordning .Riemann–Siegels thetafunktion är viktig i teorin av Riemanns zetafunktion eftersom den kan rotera zetafunktionen så att den blir den reellvärda Z-funktionen vid den kritiska linjen . (sv)
- Die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion ist eine spezielle Funktion aus der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie dient vor allem der Untersuchung von Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion und damit als Werkzeug im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung, einem bis heute ungelösten Problem der Mathematik, dessen Lösung Aussagen über die Verteilung der Primzahlen erlauben würde. So lässt sich mit Hilfe der Riemann-Siegelschen Theta-Funktion die Anzahl sogenannter nicht-trivialer Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion bis zu einem vorgegebenen Imaginärteil angeben. Die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion erscheint auch in der Definition von Gram-Punkten – bestimmten reellen Zahlen, deren Lage die Position jener Nullstellen häufig, aber nicht immer, eingren (de)
- En mathématiques, la fonction thêta de Riemann – Siegel est définie en termes de la fonction gamma : pour t réel. Ici, l'argument est choisi de manière à obtenir une fonction continue et , c'est-à-dire de la même manière que la branche principale de la fonction log-gamma. Son développement asymptotique est qui n'est pas convergent, mais dont les premiers termes donnent une bonne approximation pour . Sa série de Taylor en 0 qui converge pour est (fr)
- In mathematics, the Riemann–Siegel theta function is defined in terms of the gamma function as for real values of t. Here the argument is chosen in such a way that a continuous function is obtained and holds, i.e., in the same way that the principal branch of the log-gamma function is defined. It has an asymptotic expansion which is not convergent, but whose first few terms give a good approximation for . Its Taylor-series at 0 which converges for is (en)
- In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt de Riemann–Siegel-thèta-functie in termen van de gammafunctie gedefinieerd als voor reële waarden van t. Hier wordt het argument zodanig gekozen dat een continue functie wordt verkregen en dat houdt, dat wil zeggen op dezelfde wijze als de van de log gammafunctie wordt gedefinieerd. De Riemann-Siegel-thèta-functie heeft een die niet convergent, maar waarvan de eerste paar termen een goede benadering geven voor . Haar Taylor-reeks die op 0 convergeert voor is waar de van orde voorstelt. (nl)
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| - Riemann-Siegel Functions (en)
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| - Die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion ist eine spezielle Funktion aus der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie dient vor allem der Untersuchung von Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion und damit als Werkzeug im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung, einem bis heute ungelösten Problem der Mathematik, dessen Lösung Aussagen über die Verteilung der Primzahlen erlauben würde. So lässt sich mit Hilfe der Riemann-Siegelschen Theta-Funktion die Anzahl sogenannter nicht-trivialer Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion bis zu einem vorgegebenen Imaginärteil angeben. Die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion erscheint auch in der Definition von Gram-Punkten – bestimmten reellen Zahlen, deren Lage die Position jener Nullstellen häufig, aber nicht immer, eingrenzt. Die Theta-Funktion ist nach den beiden deutschen Mathematikern Bernhard Riemann und Carl Ludwig Siegel benannt. Riemann, der 1866 im Alter von 39 Jahren starb, hinterließ zahlreiche private Arbeitsblätter und mathematische Notizen. Der 1896 geborene Siegel nahm sich dieser Unterlagen an und veröffentlichte 1932 eine Arbeit über Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie. Dort behandelte er die heute so bezeichnete Riemann-Siegelsche Formel und damit auch die Theta-Funktion. Die in diesem Artikel dargestellte Riemann-Siegelsche Theta-Funktion ist zu unterscheiden von anderen mathematischen Funktionen, die ebenfalls den Namen „Theta-Funktion“ tragen, wie etwa der Jacobischen oder der Ramanujanschen Theta-Funktion. (de)
- En mathématiques, la fonction thêta de Riemann – Siegel est définie en termes de la fonction gamma : pour t réel. Ici, l'argument est choisi de manière à obtenir une fonction continue et , c'est-à-dire de la même manière que la branche principale de la fonction log-gamma. Son développement asymptotique est qui n'est pas convergent, mais dont les premiers termes donnent une bonne approximation pour . Sa série de Taylor en 0 qui converge pour est où désigne la fonction polygamma d'ordre . La fonction thêta de Riemann–Siegel est intéressante pour étudier la fonction zêta de Riemann, car elle peut faire pivoter la fonction zêta de Riemann de sorte qu'elle devienne la à valeur totalement réelle sur la droite critique . (fr)
- In mathematics, the Riemann–Siegel theta function is defined in terms of the gamma function as for real values of t. Here the argument is chosen in such a way that a continuous function is obtained and holds, i.e., in the same way that the principal branch of the log-gamma function is defined. It has an asymptotic expansion which is not convergent, but whose first few terms give a good approximation for . Its Taylor-series at 0 which converges for is where denotes the polygamma function of order .The Riemann–Siegel theta function is of interest in studying the Riemann zeta function, since it can rotate the Riemann zeta function such that it becomes the totally real valued Z function on the critical line . (en)
- In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt de Riemann–Siegel-thèta-functie in termen van de gammafunctie gedefinieerd als voor reële waarden van t. Hier wordt het argument zodanig gekozen dat een continue functie wordt verkregen en dat houdt, dat wil zeggen op dezelfde wijze als de van de log gammafunctie wordt gedefinieerd. De Riemann-Siegel-thèta-functie heeft een die niet convergent, maar waarvan de eerste paar termen een goede benadering geven voor . Haar Taylor-reeks die op 0 convergeert voor is waar de van orde voorstelt. De Riemann-Siegel-thèta-functie is van belang bij het bestuderen van de Riemann-zèta-functie, omdat deze thèta-functie de Riemann-zèta-functie zodanig kan roteren dat het de geheel reëel-gewaardeerde op de wordt. (nl)
- Inom matematiken är Riemann–Siegels thetafunktion en speciell funktion definierad med hjälp av gammafunktionen som för reella värden på t. Här väjs argumentet så att man får en kontinuerlig funktion och så att . Den har den som inte konvergerar, men vars första termer ger en god approximation för . Dess Taylorserie runt 0 konvergerar för och ges av där betecknar polygammafunktionen av ordning .Riemann–Siegels thetafunktion är viktig i teorin av Riemanns zetafunktion eftersom den kan rotera zetafunktionen så att den blir den reellvärda Z-funktionen vid den kritiska linjen . (sv)
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