In mathematics, the Riesz potential is a potential named after its discoverer, the Hungarian mathematician Marcel Riesz. In a sense, the Riesz potential defines an inverse for a power of the Laplace operator on Euclidean space. They generalize to several variables the Riemann–Liouville integrals of one variable. If 0 < α < n, then the Riesz potential Iαf of a locally integrable function f on Rn is the function defined by where the constant is given by where is the vector-valued Riesz transform. More generally, the operators Iα are well-defined for complex α such that 0 < Re α < n. provided
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| - Potenziale di Riesz (it)
- リースポテンシャル (ja)
- Riesz potential (en)
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| - Nel calcolo frazionario, il potenziale di Riesz è un potenziale che deve il nome al suo scopritore, il matematico ungherese Marcel Riesz. In un certo senso, il potenziale di Riesz definisce un inverso di una potenza dell'operatore di Laplace nello spazio euclideo. Esso generalizza l'integrale di Riemann–Liouville in più dimensioni. (it)
- In mathematics, the Riesz potential is a potential named after its discoverer, the Hungarian mathematician Marcel Riesz. In a sense, the Riesz potential defines an inverse for a power of the Laplace operator on Euclidean space. They generalize to several variables the Riemann–Liouville integrals of one variable. If 0 < α < n, then the Riesz potential Iαf of a locally integrable function f on Rn is the function defined by where the constant is given by where is the vector-valued Riesz transform. More generally, the operators Iα are well-defined for complex α such that 0 < Re α < n. provided (en)
- 数学におけるリースポテンシャル（英: Riesz potential）とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のは複数変数へと一般化される。 0 < α < n であるとき、Rn 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル Iαf は、次式で定義される。 (1) ただしこの定数は次で与えられる。 このは、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ Lp(Rn)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と Iαf の減衰率は不等式（） によって関連付けられる。より一般に作用素 Iα は、0 < Re α < n を満たす複素数 α に対して well-defined である。 リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る： ここで Kα は局所可積分函数 フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはであることが分かる。実際、 であるので、畳み込み定理より が得られる。 リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の半群性を満たす： ただし が成立する。 (ja)
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| - In mathematics, the Riesz potential is a potential named after its discoverer, the Hungarian mathematician Marcel Riesz. In a sense, the Riesz potential defines an inverse for a power of the Laplace operator on Euclidean space. They generalize to several variables the Riemann–Liouville integrals of one variable. If 0 < α < n, then the Riesz potential Iαf of a locally integrable function f on Rn is the function defined by where the constant is given by This singular integral is well-defined provided f decays sufficiently rapidly at infinity, specifically if f ∈ Lp(Rn) with 1 ≤ p < n/α. In fact, for any 1 ≤ p (p>1 is classical, due to Sobolev, while for p=1 see), the rate of decay of f and that of Iαf are related in the form of an inequality (the Hardy–Littlewood–Sobolev inequality) where is the vector-valued Riesz transform. More generally, the operators Iα are well-defined for complex α such that 0 < Re α < n. The Riesz potential can be defined more generally in a weak sense as the convolution where Kα is the locally integrable function: The Riesz potential can therefore be defined whenever f is a compactly supported distribution. In this connection, the Riesz potential of a positive Borel measure μ with compact support is chiefly of interest in potential theory because Iαμ is then a (continuous) subharmonic function off the support of μ, and is lower semicontinuous on all of Rn. Consideration of the Fourier transform reveals that the Riesz potential is a Fourier multiplier.In fact, one has and so, by the convolution theorem, The Riesz potentials satisfy the following semigroup property on, for instance, rapidly decreasing continuous functions provided Furthermore, if 0 < Re α < n–2, then One also has, for this class of functions, (en)
- Nel calcolo frazionario, il potenziale di Riesz è un potenziale che deve il nome al suo scopritore, il matematico ungherese Marcel Riesz. In un certo senso, il potenziale di Riesz definisce un inverso di una potenza dell'operatore di Laplace nello spazio euclideo. Esso generalizza l'integrale di Riemann–Liouville in più dimensioni. (it)
- 数学におけるリースポテンシャル（英: Riesz potential）とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のは複数変数へと一般化される。 0 < α < n であるとき、Rn 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル Iαf は、次式で定義される。 (1) ただしこの定数は次で与えられる。 このは、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ Lp(Rn)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と Iαf の減衰率は不等式（） によって関連付けられる。より一般に作用素 Iα は、0 < Re α < n を満たす複素数 α に対して well-defined である。 リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る： ここで Kα は局所可積分函数 である。したがってリースポテンシャルは、f がコンパクトな台を持つ超函数である時はいつでも定義される。この点に関し、コンパクトな台を持つある正のボレル測度 μ のリースポテンシャルは、Iαμ がその μ の台を除く（連続な）劣調和函数であり、Rn 全体で下半連続であることから、ポテンシャル論における主要な興味を集めるものとなっている。 フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはであることが分かる。実際、 であるので、畳み込み定理より が得られる。 リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の半群性を満たす： ただし が満たされているものとする。さらに、2 < Re α <n であるなら が成立する。また、この函数のクラスに対しては が成立する。 (ja)
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