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| - V teorii okruhů či obecněji v abstraktní algebře se okruhovým homomorfismem rozumí homomorfismus mezi dvěma okruhy. Je to tedy každá funkce mezi dvěma okruhy, která je slučitelná se sčítáním a násobením v okruzích, neboli taková funkce f : R → S, která splňuje:
* f(a + b) = f(a) + f(b) pro všechna a a b z R
* f(ab) = f(a) f(b) pro všechna a a b z R kde (R,+,·) a (S,+,·) jsou řečené okruhy. Platí, že složení okruhových homomorfismů je opět okruhový homomorfismus, z čehož plyne, že třída všech okruhů tvoří kategorii s okruhovými homomorfismy coby morfismy. (cs)
- In der Ringtheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Ringen, die man Ringhomomorphismen nennt. Ein Ringhomomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Ringen, und damit ein spezieller Homomorphismus. (de)
- En ringo-teorio, ringa homomorfio estas funkcio inter du ringoj konservanta la algebran strukturon (adicion kaj multiplikon) de la ringoj. (eo)
- Un homomorfismo de anillos es una aplicación entre anillos que conserva las estructuras de ambos como anillos. En todo el artículo y son anillos. (es)
- Un morphisme d'anneaux est une application entre deux anneaux (unitaires) A et B, compatible avec les lois de ces anneaux et qui envoie le neutre multiplicatif de A sur le neutre multiplicatif de B. (fr)
- In de ringtheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een ringhomomorfisme een functie tussen twee ringen die de operaties van optellen en vermenigvuldigen respecteert. (nl)
- In algebra, un omomorfismo di anelli è una funzione fra due anelli che conserva le due operazioni di addizione e moltiplicazione. (it)
- Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę. (pl)
- Em álgebra abstrata um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que, de certa forma, preserva as operações binárias de adição e multiplicação. Em termos mais precisos, se e são anéis então a função é um homomorfismo de anéis se:
*
* Se os anéis têm identidades multiplicativas , ou seja, se são anéis com unidade a seguinte condição costuma ser exigida:
* (pt)
- Гомоморфізмом кілець називається деяке відображення одного кільця в інше, що узгоджується з операціями додавання і множення. (uk)
- 在环论或抽象代数中，环同态是指两个环R與S之间的映射f保持两个环的加法与乘法运算。 更加精确地，如果R和S是环，则环同态是一个函数f : R → S，使得：
* f(a + b) = f(a) + f(b)，对于R内的所有a和b；
* f(ab) = f(a) f(b)，对于R内的所有a和b；
* f(1) = 1。 如果我们不要求环具有乘法单位元，则最后一个条件不需要。 (zh)
- Έστω και δύο δακτύλιοι. Μία απεικόνιση ονομάζεται ομομορφισμός δακτυλίων αν ισχύουν τα εξής: για κάθε . Αν επιπλέον η φ είναι 1-1 θα ονομάζεται μονομορφισμός δακτυλίων, ενώ αν είναι επί θα ονομάζεται επιμορφισμός δακτυλίων. Αν τυχαίνει η φ να είναι 1-1 και επί τότε ονομάζεται ισομορφισμός δακτυλίων. (el)
- In ring theory, a branch of abstract algebra, a ring homomorphism is a structure-preserving function between two rings. More explicitly, if R and S are rings, then a ring homomorphism is a function f : R → S such that f is: addition preserving: for all a and b in R,multiplication preserving: for all a and b in R,and unit (multiplicative identity) preserving:. Additive inverses and the additive identity are part of the structure too, but it is not necessary to require explicitly that they too are respected, because these conditions are consequences of the three conditions above. (en)
- 環論や抽象代数学において、環準同型（英: ring homomorphism）は2つの環の間の構造を保つ関数である。 きちんと書くと、R と S が環であれば、環準同型は以下を満たす関数 f : R → S である。
* R のすべての元 a と b に対して、f(a + b) = f(a) + f(b)
* R のすべての元 a と b に対して、f(ab) = f(a) f(b)
* f(1R) = 1S （加法の逆元と加法の単位元も構造の一部であるが、それらを明示的に要求する必要はない。というのもその条件は上記の条件から従うからである。一方、条件 f(1R) = 1S を落とすと下記の性質のいくつかは成り立たなくなる。 追記：「条件 f(1R) = 1S を落とすと下記の性質のいくつかは成り立たなくなる」とあるが、環準同型は乗法において群準同型でもあるため、群準同型の性質から同様にして環準同型は加法・乗法両方においてをに対応させる。条件から省いたとしてもf(ab) = f(a) f(b)より b に 1R を代入することにより単位元の定義から f(1R) = 1S. を導出することができる。加法における単位元も同様にして加法における群準同性からf(a + b) = f(a) + f(b) に同じように代入して求められる。） (ja)
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