In the branch of mathematics known as order theory, a semimodular lattice, is a lattice that satisfies the following condition: Semimodular lawa ∧ b <: a implies b <: a ∨ b. the notation a <: b means that b covers a, i.e. a < b and there is no element c such that a < c < b. an atomistic (hence algebraic) semimodular bounded lattice is called a matroid lattice because such lattices are equivalent to (simple) matroids. an atomistic semimodular bounded lattice of finite length is called a geometric lattice and corresponds to a matroid of finite rank.
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| - Semimodularer Verband (de)
- Semimodular lattice (en)
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| - In der Ordnungstheorie versteht man unter einem semimodularen Verband einen Verband, der die folgende Bedingung erfüllt: Semimodulares Gesetz impliziert . Die Notation bedeutet, dass das Element das Element bedeckt, d. h. und für alle Elemente mit gilt oder . Ein endlicher Verband ist genau dann modular, wenn sowohl er selbst als auch der duale Verband semimodular ist. (Semimodulare Verbände werden im Englischen auch als upper semimodular bezeichnet; der duale Begriff heißt dann lower semimodular.) In jedem (nach oben oder nach unten) semimodularen Verband gilt der dedekindsche Kettensatz. (de)
- In the branch of mathematics known as order theory, a semimodular lattice, is a lattice that satisfies the following condition: Semimodular lawa ∧ b <: a implies b <: a ∨ b. The notation a <: b means that b covers a, i.e. a < b and there is no element c such that a < c < b. An atomistic (hence algebraic) semimodular bounded lattice is called a matroid lattice because such lattices are equivalent to (simple) matroids. An atomistic semimodular bounded lattice of finite length is called a geometric lattice and corresponds to a matroid of finite rank. (en)
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| - Semi-modular lattice (en)
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| - In der Ordnungstheorie versteht man unter einem semimodularen Verband einen Verband, der die folgende Bedingung erfüllt: Semimodulares Gesetz impliziert . Die Notation bedeutet, dass das Element das Element bedeckt, d. h. und für alle Elemente mit gilt oder . Ein (und daher algebraischer) semimodularer beschränkter Verband heißt Matroidverband, weil solche Verbände zu (einfachen) Matroiden äquivalent sind. Ein atomistischer semimodularer beschränkter Verband von endlicher Länge heißt geometrischer Verband und entspricht einem Matroid von endlichem Rang. (Diese Definitionen folgen Stern (1999). Einige Autoren benutzen den Ausdruck "geometrischer Verband" für die allgemeineren Matroidverbände. Aber die meisten Autoren betrachten nur den endlichen Fall, in welchem beide Definitionen zu "semimodular und atomistisch" äquivalent sind.) Ein endlicher Verband ist genau dann modular, wenn sowohl er selbst als auch der duale Verband semimodular ist. (Semimodulare Verbände werden im Englischen auch als upper semimodular bezeichnet; der duale Begriff heißt dann lower semimodular.) Ein endlicher Verband, oder allgemeiner ein Verband der die aufsteigende Kettenbedingung oder die absteigende Kettenbedingung erfüllt, ist genau dann semimodular, wenn er M-symmetrisch ist. Einige Autoren bezeichnen M-symmetrische Verbände als semimodulare Verbände. (Z.B. Fofanova (2001).) In jedem (nach oben oder nach unten) semimodularen Verband gilt der dedekindsche Kettensatz. (de)
- In the branch of mathematics known as order theory, a semimodular lattice, is a lattice that satisfies the following condition: Semimodular lawa ∧ b <: a implies b <: a ∨ b. The notation a <: b means that b covers a, i.e. a < b and there is no element c such that a < c < b. An atomistic (hence algebraic) semimodular bounded lattice is called a matroid lattice because such lattices are equivalent to (simple) matroids. An atomistic semimodular bounded lattice of finite length is called a geometric lattice and corresponds to a matroid of finite rank. Semimodular lattices are also known as upper semimodular lattices; the dual notion is that of a lower semimodular lattice. A finite lattice is modular if and only if it is both upper and lower semimodular. A finite lattice, or more generally a lattice satisfying the ascending chain condition or the descending chain condition, is semimodular if and only if it is M-symmetric. Some authors refer to M-symmetric lattices as semimodular lattices. (en)
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