In linear algebra, similarity invariance is a property exhibited by a function whose value is unchanged under similarities of its domain. That is, is invariant under similarities if where is a matrix similar to A. Examples of such functions include the trace, determinant, characteristic polynomial, and the minimal polynomial.
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| - Invariante algebraico (álgebra lineal) (es)
- Invariants de similitude (fr)
- Similarity invariance (en)
- Invariante algébrico (pt)
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| - Un invariante algebraico es una función polinómica de los componentes de la matriz de una aplicación lineal, no depende de la base vectorial escogida para representar la aplicación lineal en forma de matriz. En otras palabras, un invariante algebraico es una cierta combinación de los componentes de una matriz cuyo valor numérico no queda alterado al hacer un cambio de base, y de ahí el nombre de invariante. (es)
- Um invariante algébrico, ou invariantes de tensores, no campo da álgebra multilinear e teoria da representação, é uma função polinomial dos componentes da matriz de uma aplicação linear que não depende da base vetorial escolhida para representar a aplicação linear em forma de matriz. Em outras palavras, um invariante algébrico é uma certa combinação dos componentes de uma matriz cujo valor numérico não resulta alterado ao fazer-se uma , e daí o nome de invariante. Por exemplo, os coeficientes do polinômio característico da matriz A : são invariantes algébricos. (pt)
- En algèbre linéaire, un invariant de similitude est une quantité qu'on peut associer à toute matrice carrée (à coefficients dans un corps commutatif fixé K), telle que pour deux matrices semblables cette quantité soit toujours la même. Des exemples d'invariants de similitude sont la taille de la matrice, sa trace, son déterminant, son polynôme caractéristique (dont on peut déduire les trois invariants précédents), ou encore son polynôme minimal. Du fait de cette invariance, une telle quantité peut aussi être associée à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, en utilisant sa matrice dans une base quelconque de l'espace. (fr)
- In linear algebra, similarity invariance is a property exhibited by a function whose value is unchanged under similarities of its domain. That is, is invariant under similarities if where is a matrix similar to A. Examples of such functions include the trace, determinant, characteristic polynomial, and the minimal polynomial. (en)
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| - Un invariante algebraico es una función polinómica de los componentes de la matriz de una aplicación lineal, no depende de la base vectorial escogida para representar la aplicación lineal en forma de matriz. En otras palabras, un invariante algebraico es una cierta combinación de los componentes de una matriz cuyo valor numérico no queda alterado al hacer un cambio de base, y de ahí el nombre de invariante. (es)
- En algèbre linéaire, un invariant de similitude est une quantité qu'on peut associer à toute matrice carrée (à coefficients dans un corps commutatif fixé K), telle que pour deux matrices semblables cette quantité soit toujours la même. Des exemples d'invariants de similitude sont la taille de la matrice, sa trace, son déterminant, son polynôme caractéristique (dont on peut déduire les trois invariants précédents), ou encore son polynôme minimal. Du fait de cette invariance, une telle quantité peut aussi être associée à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, en utilisant sa matrice dans une base quelconque de l'espace. Un ensemble d'invariants de similitude est appelé un système complet si pour deux matrices non semblables, au moins un des invariants prend des valeurs distinctes sur les deux matrices. Les invariants mentionnés ci-dessus ne forment pas un système complet. Mais un système complet est connu : ces invariants sont classiquement appelés les invariants de similitude d'une matrice. Ces invariants consistent en une suite finie de polynômes unitaires, dont chacun divise son successeur, dont le dernier élément est le polynôme minimal, et dont le produit donne le polynôme caractéristique. On peut montrer que, si A est une matrice carrée de taille n à coefficients dans le corps K, alors il existe une matrice B semblable à A, diagonale par blocs, et dont les blocs diagonaux sont les matrices compagnons de ces invariants de similitude. L'existence d'une telle matrice B repose sur la décomposition de Frobenius (en sous-modules cycliques) de l'espace vectoriel Kn, vu comme K[X]-module (de type fini) où X agit comme l'application linéaire définie par A. Cette décomposition est l'objet, dans un cadre plus général, du théorème des facteurs invariants. Les invariants de similitude se trouvent être les facteurs invariants de ce K[X]-module. Le calcul de ces invariants de similitude est effectif (il ne demande pas la factorisation d'un polynôme, comme c'est le cas pour la recherche de valeurs propres), et repose sur des algorithmes du type pivot de Gauss. (fr)
- In linear algebra, similarity invariance is a property exhibited by a function whose value is unchanged under similarities of its domain. That is, is invariant under similarities if where is a matrix similar to A. Examples of such functions include the trace, determinant, characteristic polynomial, and the minimal polynomial. A more colloquial phrase that means the same thing as similarity invariance is "basis independence", since a matrix can be regarded as a linear operator, written in a certain basis, and the same operator in a new basis is related to one in the old basis by the conjugation , where is the transformation matrix to the new basis. (en)
- Um invariante algébrico, ou invariantes de tensores, no campo da álgebra multilinear e teoria da representação, é uma função polinomial dos componentes da matriz de uma aplicação linear que não depende da base vetorial escolhida para representar a aplicação linear em forma de matriz. Em outras palavras, um invariante algébrico é uma certa combinação dos componentes de uma matriz cujo valor numérico não resulta alterado ao fazer-se uma , e daí o nome de invariante. Por exemplo, os coeficientes do polinômio característico da matriz A : são invariantes algébricos. (pt)
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