In mathematics, the standard conjectures about algebraic cycles are several conjectures describing the relationship of algebraic cycles and Weil cohomology theories. One of the original applications of these conjectures, envisaged by Alexander Grothendieck, was to prove that his construction of pure motives gave an abelian category that is semisimple. Moreover, as he pointed out, the standard conjectures also imply the hardest part of the Weil conjectures, namely the "Riemann hypothesis" conjecture that remained open at the end of the 1960s and was proved later by Pierre Deligne; for details on the link between Weil and standard conjectures, see . The standard conjectures remain open problems, so that their application gives only conditional proofs of results. In quite a few cases, includi
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| - 代数的サイクルの標準予想 (ja)
- Standard conjectures on algebraic cycles (en)
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| - In mathematics, the standard conjectures about algebraic cycles are several conjectures describing the relationship of algebraic cycles and Weil cohomology theories. One of the original applications of these conjectures, envisaged by Alexander Grothendieck, was to prove that his construction of pure motives gave an abelian category that is semisimple. Moreover, as he pointed out, the standard conjectures also imply the hardest part of the Weil conjectures, namely the "Riemann hypothesis" conjecture that remained open at the end of the 1960s and was proved later by Pierre Deligne; for details on the link between Weil and standard conjectures, see . The standard conjectures remain open problems, so that their application gives only conditional proofs of results. In quite a few cases, includi (en)
- 数学では、代数的サイクルについての標準予想(standard conjectures)とは、代数的サイクルとヴェイユ・コホモロジー論の関係を記述する一連の予想のことを言う。これらの予想の応用のひとつは、アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)が想定していたことであるが、彼のピュアモチーフの構成が半単純なアーベル圏をもたらすことを証明するためであった。さらに、彼が指摘したように、標準予想はヴェイユ予想の最も困難な部分の証明をも意味する。最も困難な部分とは、1960年代の終わりにまだ未解明であり、後日、ピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)により証明されることとなった「リーマン予想」の部分を言う。ヴェイユ予想と標準予想の関係の詳細は を参照。標準予想は未解決のままであり、その応用は結果の(conditional proof)を与えるだけでしかない。ヴェィユ予想を含む非常にまれな場合には、条件なしでそのような結果を証明することのできる別の方法が見つかっている。 固定したヴェイユコホモロジー理論 H （の存在）を、標準予想の古典的定式化は意味している。予想の全体は「代数的」なコホモロジー類を扱っていて、滑らかな射影多様体のコホモロジー上の射 H ∗(X) → H ∗(X) (ja)
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| - In mathematics, the standard conjectures about algebraic cycles are several conjectures describing the relationship of algebraic cycles and Weil cohomology theories. One of the original applications of these conjectures, envisaged by Alexander Grothendieck, was to prove that his construction of pure motives gave an abelian category that is semisimple. Moreover, as he pointed out, the standard conjectures also imply the hardest part of the Weil conjectures, namely the "Riemann hypothesis" conjecture that remained open at the end of the 1960s and was proved later by Pierre Deligne; for details on the link between Weil and standard conjectures, see . The standard conjectures remain open problems, so that their application gives only conditional proofs of results. In quite a few cases, including that of the Weil conjectures, other methods have been found to prove such results unconditionally. The classical formulations of the standard conjectures involve a fixed Weil cohomology theory H. All of the conjectures deal with "algebraic" cohomology classes, which means a morphism on the cohomology of a smooth projective variety H ∗(X) → H ∗(X) induced by an algebraic cycle with rational coefficients on the product X × X via the cycle class map, which is part of the structure of a Weil cohomology theory. Conjecture A is equivalent to Conjecture B (see , p. 196), and so is not listed. (en)
- 数学では、代数的サイクルについての標準予想(standard conjectures)とは、代数的サイクルとヴェイユ・コホモロジー論の関係を記述する一連の予想のことを言う。これらの予想の応用のひとつは、アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)が想定していたことであるが、彼のピュアモチーフの構成が半単純なアーベル圏をもたらすことを証明するためであった。さらに、彼が指摘したように、標準予想はヴェイユ予想の最も困難な部分の証明をも意味する。最も困難な部分とは、1960年代の終わりにまだ未解明であり、後日、ピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)により証明されることとなった「リーマン予想」の部分を言う。ヴェイユ予想と標準予想の関係の詳細は を参照。標準予想は未解決のままであり、その応用は結果の(conditional proof)を与えるだけでしかない。ヴェィユ予想を含む非常にまれな場合には、条件なしでそのような結果を証明することのできる別の方法が見つかっている。 固定したヴェイユコホモロジー理論 H （の存在）を、標準予想の古典的定式化は意味している。予想の全体は「代数的」なコホモロジー類を扱っていて、滑らかな射影多様体のコホモロジー上の射 H ∗(X) → H ∗(X) が、サイクル類写像を通して積 X × X 上の有理係数の代数的サイクルである。このことがヴェイユコホモロジーの構造の一部となっている。 予想 A は予想 B と同値である（, p. 196 を参照）ので、本記事でリストアップしない。 (ja)
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