In mathematics, in the field of group theory, a subgroup H of a given group G is a subnormal subgroup of G if there is a finite chain of subgroups of the group, each one normal in the next, beginning at H and ending at G. In notation, is -subnormal in if there are subgroups of such that is normal in for each . A subnormal subgroup is a subgroup that is -subnormal for some positive integer .Some facts about subnormal subgroups: If every subnormal subgroup of G is normal in G, then G is called a T-group.
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| - Subnormalteiler (de)
- Sous-groupe sous-normal (fr)
- Subnormal subgroup (en)
- Subnormal delgrupp (sv)
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| - En mathématiques, dans le domaine de la théorie des groupes, un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, commençant en H et finissant en G, et dont chaque élément est un sous-groupe normal du suivant. (fr)
- Inom matematik är en delgrupp H av en given grupp G en subnormal delgrupp av G om det finns en ändlig kedja av delgrupper av gruppen, börjandes med H och som slutar i G, så att varje grupp är normal i den följande. Mer noggrant säger man att är -subnormal i om det finns delgrupper av så att är normal i för alla . (sv)
- In der Gruppentheorie wird eine Untergruppe einer Gruppe als Subnormalteiler (oder subnormale Untergruppe) bezeichnet, falls eine Subnormalreihe von nach existiert, das heißt, falls es eine endliche Kette ≤ … ≤ von Untergruppen von gibt, so dass jeweils Normalteiler von ist. Der Begriff des Subnormalteilers ist insofern eine Verallgemeinerung des Begriffs des Normalteilers, als ein Subnormalteiler nicht unbedingt normal in der ganzen Gruppe sein muss. Jeder Normalteiler ist aber stets ein Subnormalteiler. (de)
- In mathematics, in the field of group theory, a subgroup H of a given group G is a subnormal subgroup of G if there is a finite chain of subgroups of the group, each one normal in the next, beginning at H and ending at G. In notation, is -subnormal in if there are subgroups of such that is normal in for each . A subnormal subgroup is a subgroup that is -subnormal for some positive integer .Some facts about subnormal subgroups: If every subnormal subgroup of G is normal in G, then G is called a T-group. (en)
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| - In der Gruppentheorie wird eine Untergruppe einer Gruppe als Subnormalteiler (oder subnormale Untergruppe) bezeichnet, falls eine Subnormalreihe von nach existiert, das heißt, falls es eine endliche Kette ≤ … ≤ von Untergruppen von gibt, so dass jeweils Normalteiler von ist. Subnormalteiler wurden – noch unter der Bezeichnung nachinvariante Untergruppe – erstmals von Helmut Wielandt in seiner 1939 erschienenen Habilitationsschrift Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen betrachtet. Wielandt konnte unter anderem zeigen, dass in endlichen Gruppen das Erzeugnis zweier Subnormalteiler stets wieder subnormal ist, die Subnormalteiler also einen Verband bilden. Der Begriff des Subnormalteilers ist insofern eine Verallgemeinerung des Begriffs des Normalteilers, als ein Subnormalteiler nicht unbedingt normal in der ganzen Gruppe sein muss. Jeder Normalteiler ist aber stets ein Subnormalteiler. (de)
- En mathématiques, dans le domaine de la théorie des groupes, un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, commençant en H et finissant en G, et dont chaque élément est un sous-groupe normal du suivant. (fr)
- In mathematics, in the field of group theory, a subgroup H of a given group G is a subnormal subgroup of G if there is a finite chain of subgroups of the group, each one normal in the next, beginning at H and ending at G. In notation, is -subnormal in if there are subgroups of such that is normal in for each . A subnormal subgroup is a subgroup that is -subnormal for some positive integer .Some facts about subnormal subgroups:
* A 1-subnormal subgroup is a proper normal subgroup (and vice versa).
* A finitely generated group is nilpotent if and only if each of its subgroups is subnormal.
* Every quasinormal subgroup, and, more generally, every conjugate-permutable subgroup, of a finite group is subnormal.
* Every pronormal subgroup that is also subnormal, is normal. In particular, a Sylow subgroup is subnormal if and only if it is normal.
* Every 2-subnormal subgroup is a conjugate-permutable subgroup. The property of subnormality is transitive, that is, a subnormal subgroup of a subnormalsubgroup is subnormal. The relation of subnormality can be defined as the transitive closure of the relation of normality. If every subnormal subgroup of G is normal in G, then G is called a T-group. (en)
- Inom matematik är en delgrupp H av en given grupp G en subnormal delgrupp av G om det finns en ändlig kedja av delgrupper av gruppen, börjandes med H och som slutar i G, så att varje grupp är normal i den följande. Mer noggrant säger man att är -subnormal i om det finns delgrupper av så att är normal i för alla . (sv)
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