In algebraic geometry, supersingular elliptic curves form a certain class of elliptic curves over a field of characteristic p > 0 with unusually large endomorphism rings. Elliptic curves over such fields which are not supersingular are called ordinary and these two classes of elliptic curves behave fundamentally differently in many aspects. discovered supersingular elliptic curves during his work on the Riemann hypothesis for elliptic curves by observing that positive characteristic elliptic curves could have endomorphism rings of unusually large rank 4, and developed their basic theory.
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| - Curva elíptica supersingular (es)
- Courbe elliptique supersingulière (fr)
- Supersingular elliptic curve (en)
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| - En geometría algebraica, las curvas elípticas supersingulares forman una cierta clase de curvas elípticas sobre un cuerpo de característica p > 0 con inusualmente grandes. Las curvas elípticas sobre tales cuerpos que no son supersingulares se denominan ordinarias y estas dos clases de curvas elípticas se comportan de manera fundamentalmente diferente en muchos aspectos. descubrió curvas elípticas supersingulares durante su trabajo sobre la hipótesis de Riemann para curvas elípticas al observar que las curvas elípticas de características positivas podrían tener anillos de endomorfismo de rango 4 inusualmente grande, y desarrolló su teoría básica. (es)
- En géométrie algébrique, les courbes elliptiques supersingulières forment une certaine classe de courbes elliptiques sur un corps de caractéristique p > 0 possédant un (en) inhabituellement grands. Les courbes elliptiques sur de tels corps qui ne sont pas supersingulières sont appelées ordinaires et ces deux classes de courbes elliptiques se comportent fondamentalement différemment à bien des égards. Hasse (1936) a découvert des courbes elliptiques supersingulières lors de ses travaux sur l'hypothèse de Riemann pour les courbes elliptiques en observant que les courbes elliptiques de caractéristiques positives pouvaient avoir des anneaux d'endomorphisme de rang 4 inhabituellement grand, et Deuring (1941) a développé la base de leur théorie. (fr)
- In algebraic geometry, supersingular elliptic curves form a certain class of elliptic curves over a field of characteristic p > 0 with unusually large endomorphism rings. Elliptic curves over such fields which are not supersingular are called ordinary and these two classes of elliptic curves behave fundamentally differently in many aspects. discovered supersingular elliptic curves during his work on the Riemann hypothesis for elliptic curves by observing that positive characteristic elliptic curves could have endomorphism rings of unusually large rank 4, and developed their basic theory. (en)
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| - En geometría algebraica, las curvas elípticas supersingulares forman una cierta clase de curvas elípticas sobre un cuerpo de característica p > 0 con inusualmente grandes. Las curvas elípticas sobre tales cuerpos que no son supersingulares se denominan ordinarias y estas dos clases de curvas elípticas se comportan de manera fundamentalmente diferente en muchos aspectos. descubrió curvas elípticas supersingulares durante su trabajo sobre la hipótesis de Riemann para curvas elípticas al observar que las curvas elípticas de características positivas podrían tener anillos de endomorfismo de rango 4 inusualmente grande, y desarrolló su teoría básica. El término supersingular no tiene nada que ver con los puntos singulares de las curvas, y todas las curvas elípticas supersingulares son no singulares. Proviene de la frase "valores singulares del j-invariante" utilizada para valores del j-invariante para los que una curva elíptica compleja tiene multiplicación compleja. Las curvas elípticas complejas con multiplicación compleja son aquellas para las que el anillo de endomorfismo tiene el máximo rango posible 2. Con característica positiva es posible que el anillo de endomorfismo sea aún mayor: puede ser un orden en un de dimensión 4, en cuyo caso la curva elíptica es supersingular. Los primos p tales que cada curva elíptica supersingular en característica p puede definirse sobre el subcuerpo primo en lugar de se denominan primos supersingulares. (es)
- En géométrie algébrique, les courbes elliptiques supersingulières forment une certaine classe de courbes elliptiques sur un corps de caractéristique p > 0 possédant un (en) inhabituellement grands. Les courbes elliptiques sur de tels corps qui ne sont pas supersingulières sont appelées ordinaires et ces deux classes de courbes elliptiques se comportent fondamentalement différemment à bien des égards. Hasse (1936) a découvert des courbes elliptiques supersingulières lors de ses travaux sur l'hypothèse de Riemann pour les courbes elliptiques en observant que les courbes elliptiques de caractéristiques positives pouvaient avoir des anneaux d'endomorphisme de rang 4 inhabituellement grand, et Deuring (1941) a développé la base de leur théorie. Le terme supersingulier n'a rien à voir avec les points singuliers des courbes : toutes les courbes elliptiques supersingulières sont non singulières. Il vient des valeurs singulières de l'invariant j pour lesquelles une courbe elliptique a une multiplication complexe. Les courbes elliptiques complexes à multiplication complexe sont celles pour lesquelles l'anneau d'endomorphisme a le rang maximal possible 2. En caractéristique positive, il est possible que l'anneau d'endomorphisme soit encore plus grand : il peut s'agir d'un ordre dans une algèbre de quaternions de dimension 4, auquel cas la courbe elliptique est supersingulière. Les nombres premiers p tels que chaque courbe elliptique supersingulière en caractéristique p peut être définie sur le sous-corps premier plutôt que sont appelés nombres premiers supersinguliers. (fr)
- In algebraic geometry, supersingular elliptic curves form a certain class of elliptic curves over a field of characteristic p > 0 with unusually large endomorphism rings. Elliptic curves over such fields which are not supersingular are called ordinary and these two classes of elliptic curves behave fundamentally differently in many aspects. discovered supersingular elliptic curves during his work on the Riemann hypothesis for elliptic curves by observing that positive characteristic elliptic curves could have endomorphism rings of unusually large rank 4, and developed their basic theory. The term "supersingular" has nothing to do with singular points of curves, and all supersingular elliptic curves are non-singular. It comes from the phrase "singular values of the j-invariant" used for values of the j-invariant for which a complex elliptic curve has complex multiplication. The complex elliptic curves with complex multiplication are those for which the endomorphism ring has the maximal possible rank 2. In positive characteristic it is possible for the endomorphism ring to be even larger: it can be an order in a quaternion algebra of dimension 4, in which case the elliptic curve is supersingular. The primes p such that every supersingular elliptic curve in characteristic p can be defined over the prime subfield rather than are called supersingular primes. (en)
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