Superstatistics is a branch of statistical mechanics or statistical physics devoted to the study of non-linear and non-equilibrium systems. It is characterized by using the superposition of multiple differing statistical models to achieve the desired non-linearity. In terms of ordinary statistical ideas, this is equivalent to compounding the distributions of random variables and it may be considered a simple case of a doubly stochastic model. This defines the superstatistical partition function
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| - Superstatistik (de)
- Superstatistiques (fr)
- Superstatistics (en)
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| - Die Superstatistik ist ein Zweig der statistischen Mechanik und der statistischen Physik, der sich mit nichtlinearen Systemen und Nichtgleichgewichts-Systemen befasst. Es zeichnet sich durch die Überlagerung (Superposition) mehrerer unterschiedlicher statistischer Modelle aus, um die gewünschte Nichtlinearität zu erzielen. In Bezug auf gewöhnliche statistische Ideen ist dies gleichbedeutend mit dem Zusammensetzen der Verteilungen von Zufallsvariablen und kann als einfacher Fall eines doppelt stochastischen Modells betrachtet werden. Sie wurde 2003 von E. G. D. Cohen und Christian Beck eingeführt mit der Motivation, in physikalischen Systemen nicht von vornherein (a priori) Maxwell-Boltzmann-Verteilung anzunehmen. (de)
- Les superstatistiques constituent un formalisme de la physique statistique, consistant à décrire les propriétés statistiques d'un système par une superposition de statistiques, d'où le nom superstatistiques. En général, le formalisme s'applique à un système hors équilibre thermodynamique, où la température exhibe des fluctuations. On peut ainsi assigner une fonction de distribution à la température, ou de manière équivalente à β. A une petite échelle, le système exhibe un équilibre local et est décrit par la statistique de Boltzmann . Le système à une plus grande échelle est donc décrit par une superposition de la statistique de Boltzmann et de la fonction de distribution caractérisant les fluctuations de la température : (fr)
- Superstatistics is a branch of statistical mechanics or statistical physics devoted to the study of non-linear and non-equilibrium systems. It is characterized by using the superposition of multiple differing statistical models to achieve the desired non-linearity. In terms of ordinary statistical ideas, this is equivalent to compounding the distributions of random variables and it may be considered a simple case of a doubly stochastic model. This defines the superstatistical partition function (en)
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| - Die Superstatistik ist ein Zweig der statistischen Mechanik und der statistischen Physik, der sich mit nichtlinearen Systemen und Nichtgleichgewichts-Systemen befasst. Es zeichnet sich durch die Überlagerung (Superposition) mehrerer unterschiedlicher statistischer Modelle aus, um die gewünschte Nichtlinearität zu erzielen. In Bezug auf gewöhnliche statistische Ideen ist dies gleichbedeutend mit dem Zusammensetzen der Verteilungen von Zufallsvariablen und kann als einfacher Fall eines doppelt stochastischen Modells betrachtet werden. Sie wurde 2003 von E. G. D. Cohen und Christian Beck eingeführt mit der Motivation, in physikalischen Systemen nicht von vornherein (a priori) Maxwell-Boltzmann-Verteilung anzunehmen. Man betrachte ein erweitertes thermodynamisches System, welches lokal im Gleichgewicht ist und eine Boltzmann-Verteilung aufweist. Dann ist die Wahrscheinlichkeit das System in einem Zustand mit Energie zu finden proportional zu . Hierbei ist die lokale inverse Temperatur. Ein thermodynamisches Nichtgleichgewichts-System wird unter Berücksichtigung makroskopischer Schwankungen der lokalen inversen Temperatur modelliert. Diese Schwankungen treten auf Zeitskalen auf, die viel größer sind als die mikroskopischen Relaxationszeiten für die Boltzmann-Verteilung. Wenn die Schwankungen von durch eine Verteilung charakterisiert sind, ist der superstatistische Boltzmann-Faktor des Systems gegeben durch Für ein System, das diskrete Energiezustände annehmen kann, definiert die obige Gleichung die superstatistische Partitionsfunktion Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand befindet, ist durch gegeben. Die Modellierung der Fluktuationen von führt zu einer statistischen Beschreibung der Boltzmann-Statistik oder "Superstatistik". Wenn zum Beispiel einer Gammaverteilung folgt, entspricht die resultierende Superstatistik der Tsallis-Statistik. Superstatistiken können auch zu anderen Statistiken wie Potenzgesetzverteilungen oder gestreckten Exponentialen führen. (de)
- Les superstatistiques constituent un formalisme de la physique statistique, consistant à décrire les propriétés statistiques d'un système par une superposition de statistiques, d'où le nom superstatistiques. En général, le formalisme s'applique à un système hors équilibre thermodynamique, où la température exhibe des fluctuations. On peut ainsi assigner une fonction de distribution à la température, ou de manière équivalente à β. A une petite échelle, le système exhibe un équilibre local et est décrit par la statistique de Boltzmann . Le système à une plus grande échelle est donc décrit par une superposition de la statistique de Boltzmann et de la fonction de distribution caractérisant les fluctuations de la température : La fonction de partition est donnée par La probabilité de trouver le système sur le niveau d'énergie est donnée par L'une des particularités des superstatistiques est qu'elles permettent de reproduire des fonctions de distribution différentes de la statistique de Maxwell-Boltzmann. Les statistiques de Tsallis apparaissent comme un cas particulier des superstatistiques. Bien que le formalisme ait été introduit pour décrire des systèmes classiques exhibant un équilibre local, des modèles basés sur les superstatistiques ont émergé dans différents contextes tels que les intégrales de chemin, l'économie ou en science de l'environnement. (fr)
- Superstatistics is a branch of statistical mechanics or statistical physics devoted to the study of non-linear and non-equilibrium systems. It is characterized by using the superposition of multiple differing statistical models to achieve the desired non-linearity. In terms of ordinary statistical ideas, this is equivalent to compounding the distributions of random variables and it may be considered a simple case of a doubly stochastic model. Consider an extended thermodynamical system which is locally in equilibrium and has a Boltzmann distribution, that is the probability of finding the system in a state with energy is proportional to . Here is the local inverse temperature. A non-equilibrium thermodynamical system is modeled by considering macroscopic fluctuations of the local inverse temperature. These fluctuations happen on time scales which are much larger than the microscopic relaxation times to the Boltzmann distribution. If the fluctuations of are characterized by a distribution , the superstatistical Boltzmann factor of the system is given by This defines the superstatistical partition function for system that can assume discrete energy states . The probability of finding the system in state is then given by Modeling the fluctuations of leads to a description in terms of statistics of Boltzmann statistics, or "superstatistics". For example, if follows a Gamma distribution, the resulting superstatistics corresponds to Tsallis statistics. Superstatistics can also lead to other statistics such as power-law distributions or stretched exponentials. One needs to note here that the word super here is short for superposition of the statistics. This branch is highly related to the exponential family and Mixing. These concepts are used in many approximation approaches, like particle filtering (where the distribution is approximated by delta functions) for example. (en)
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