In mathematics, specifically Riemannian geometry, Synge's theorem is a classical result relating the curvature of a Riemannian manifold to its topology. It is named for John Lighton Synge, who proved it in .
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| - Satz von Synge (de)
- Théorème de Synge (fr)
- Synge's theorem (en)
- Лемма Синга (ru)
- Лема Сінга (uk)
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| - Der Satz von Synge ist ein nach John Lighton Synge benannter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Er besagt, dass jede gerade-dimensionale, orientierbare Mannigfaltigkeit positiver Schnittkrümmung einfach zusammenhängend sein muss. (de)
- In mathematics, specifically Riemannian geometry, Synge's theorem is a classical result relating the curvature of a Riemannian manifold to its topology. It is named for John Lighton Synge, who proved it in . (en)
- Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной. Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых.Она использовалась Джоном Сингом. (ru)
- Лема Сінга - ключове твердження про стабільність замкнутих геодезичних у ріманових многовидах із додатною секційною кривиною. Лема є прямим наслідком формули для другої варіації довжин однопараметричного сімейства кривих. Її використовував Джоном Сінгом. (uk)
- En mathématiques, le théorème de Synge, démontré par John Lighton Synge en 1936, est un résultat classique de géométrie riemannienne sur la topologie d'une variété riemannienne complète à courbure positive. Il constitue une application de la . Théorème — Soit M une variété riemannienne complète de dimension paire et de courbure sectionnelle strictement positive.
* Si M est orientable alors elle est simplement connexe.
* Si M est non orientable alors son groupe fondamental est .Démonstration D'où une contradiction avec le choix de , donc M est simplement connexe. (fr)
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| - Der Satz von Synge ist ein nach John Lighton Synge benannter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Er besagt, dass jede gerade-dimensionale, orientierbare Mannigfaltigkeit positiver Schnittkrümmung einfach zusammenhängend sein muss. (de)
- En mathématiques, le théorème de Synge, démontré par John Lighton Synge en 1936, est un résultat classique de géométrie riemannienne sur la topologie d'une variété riemannienne complète à courbure positive. Il constitue une application de la . Théorème — Soit M une variété riemannienne complète de dimension paire et de courbure sectionnelle strictement positive.
* Si M est orientable alors elle est simplement connexe.
* Si M est non orientable alors son groupe fondamental est .Démonstration Supposons M orientable et de dimension paire et raisonnons par l'absurde. Supposons que M ne soit pas simplement connexe. Alors M possède une géodésique fermée minimisant la longueur dans sa classe d'homotopie libre. Soient et le transport parallèle le long de . Cette application est une isométrie linéaire ayant un point fixe, à savoir . Comme la dimension de M est paire, l'orthogonal de est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension impaire sur lequel définit une isométrie linéaire. En particulier, les questions de réductions montrent l'existence d'un vecteur orthogonal (choisi unitaire), tel que : . Le transport parallèle de le long de donne une section globale de . Introduisons une variation de lacets -périodiques, avec et . La formule de la variation seconde donne : D'où une contradiction avec le choix de , donc M est simplement connexe. Pour la seconde affirmation, il suffit de considérer un revêtement double orientable de M. On peut démontrer par les mêmes techniques que toute variété riemannienne complète de dimension impaire et de courbure sectionnelle strictement positive est orientable. (fr)
- In mathematics, specifically Riemannian geometry, Synge's theorem is a classical result relating the curvature of a Riemannian manifold to its topology. It is named for John Lighton Synge, who proved it in . (en)
- Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной. Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых.Она использовалась Джоном Сингом. (ru)
- Лема Сінга - ключове твердження про стабільність замкнутих геодезичних у ріманових многовидах із додатною секційною кривиною. Лема є прямим наслідком формули для другої варіації довжин однопараметричного сімейства кривих. Її використовував Джоном Сінгом. (uk)
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