In number theory, Tate's thesis is the 1950 PhD thesis of John Tate completed under the supervision of Emil Artin at Princeton University. In it, Tate used a translation invariant integration on the locally compact group of ideles to lift the zeta function twisted by a Hecke character, i.e. a Hecke L-function, of a number field to a zeta integral and study its properties. Using harmonic analysis, more precisely the Poisson summation formula, he proved the functional equation and meromorphic continuation of the zeta integral and the Hecke L-function. He also located the poles of the twisted zeta function. His work can be viewed as an elegant and powerful reformulation of a work of Erich Hecke on the proof of the functional equation of the Hecke L-function. Erich Hecke used a generalized
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| - Thèse de Tate (fr)
- テイト論文 (ja)
- Tate's thesis (en)
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| - En théorie des nombres, la thèse de Tate est la thèse de doctorat de 1950 de John Tate (1950) (Fourier Analysis in Number Fields and Hecke's Zeta-Functions) réalisé sous la direction d'Emil Artin à l'Université de Princeton. Dans ce travail, Tate a utilisé une intégration invariante par translation sur le groupe localement compact des idèles pour relevé la fonction zêta tordue par un caractère de Hecke, c'est-à-dire une fonction L de Hecke, d'un corps de nombres en une intégrale et étudier ses propriétés. En utilisant l'analyse harmonique, plus précisément la formule sommatoire de Poisson, il a prouvé l'équation fonctionnelle et la continuation méromorphe de des fonctions L de Hecke. Il a également localisé les pôles de la fonction zêta tordue. Son travail peut être considéré comme une ref (fr)
- In number theory, Tate's thesis is the 1950 PhD thesis of John Tate completed under the supervision of Emil Artin at Princeton University. In it, Tate used a translation invariant integration on the locally compact group of ideles to lift the zeta function twisted by a Hecke character, i.e. a Hecke L-function, of a number field to a zeta integral and study its properties. Using harmonic analysis, more precisely the Poisson summation formula, he proved the functional equation and meromorphic continuation of the zeta integral and the Hecke L-function. He also located the poles of the twisted zeta function. His work can be viewed as an elegant and powerful reformulation of a work of Erich Hecke on the proof of the functional equation of the Hecke L-function. Erich Hecke used a generalized (en)
- 数論において、テイト論文 (Tate's thesis) とは、ジョン・テイトの1950年の学位論文 John Tate である。指導教官はエミール・アルティン (Emil Artin) であった。この論文の中で、彼はイデールの局所コンパクト群上の不変積分を使い、ヘッケ指標でツイストされた数体のゼータ函数をゼータ積分へ持ち上げ、その性質を研究した。調和解析を使い、詳しくは和公式を使い、彼はゼータ積分とツイストされたゼータ函数の函数等式と有理型接続を証明した。また、彼はツイストされたゼータ函数の極の位置を特定した。彼の仕事は、エーリッヒ・ヘッケの仕事であるツイストされたゼータ函数（L-函数）の函数等式の証明を、エレガントで強力な再定式化を行ったと見ることができる。ヘッケは、代数体の整数環の中の格子に付帯するテータ級数を使った。 岩澤・テイト理論は、類体論から来るいくつかの結果を使う。 (ja)
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| - En théorie des nombres, la thèse de Tate est la thèse de doctorat de 1950 de John Tate (1950) (Fourier Analysis in Number Fields and Hecke's Zeta-Functions) réalisé sous la direction d'Emil Artin à l'Université de Princeton. Dans ce travail, Tate a utilisé une intégration invariante par translation sur le groupe localement compact des idèles pour relevé la fonction zêta tordue par un caractère de Hecke, c'est-à-dire une fonction L de Hecke, d'un corps de nombres en une intégrale et étudier ses propriétés. En utilisant l'analyse harmonique, plus précisément la formule sommatoire de Poisson, il a prouvé l'équation fonctionnelle et la continuation méromorphe de des fonctions L de Hecke. Il a également localisé les pôles de la fonction zêta tordue. Son travail peut être considéré comme une reformulation élégante et puissante d'un travail d'Erich Hecke sur la preuve de l'équation fonctionnelle de la fonction L de Hecke. Erich Hecke avait utilisé fonction thêta de Jacobi généralisée associée à un corps de nombres algébriques et un réseau sur l'anneau des entiers de ce corps. (fr)
- In number theory, Tate's thesis is the 1950 PhD thesis of John Tate completed under the supervision of Emil Artin at Princeton University. In it, Tate used a translation invariant integration on the locally compact group of ideles to lift the zeta function twisted by a Hecke character, i.e. a Hecke L-function, of a number field to a zeta integral and study its properties. Using harmonic analysis, more precisely the Poisson summation formula, he proved the functional equation and meromorphic continuation of the zeta integral and the Hecke L-function. He also located the poles of the twisted zeta function. His work can be viewed as an elegant and powerful reformulation of a work of Erich Hecke on the proof of the functional equation of the Hecke L-function. Erich Hecke used a generalized theta series associated to an algebraic number field and a lattice in its ring of integers. (en)
- 数論において、テイト論文 (Tate's thesis) とは、ジョン・テイトの1950年の学位論文 John Tate である。指導教官はエミール・アルティン (Emil Artin) であった。この論文の中で、彼はイデールの局所コンパクト群上の不変積分を使い、ヘッケ指標でツイストされた数体のゼータ函数をゼータ積分へ持ち上げ、その性質を研究した。調和解析を使い、詳しくは和公式を使い、彼はゼータ積分とツイストされたゼータ函数の函数等式と有理型接続を証明した。また、彼はツイストされたゼータ函数の極の位置を特定した。彼の仕事は、エーリッヒ・ヘッケの仕事であるツイストされたゼータ函数（L-函数）の函数等式の証明を、エレガントで強力な再定式化を行ったと見ることができる。ヘッケは、代数体の整数環の中の格子に付帯するテータ級数を使った。 これとは独立に、岩澤健吉は、第二次世界大戦中、本質的には同じ方法で（テイト論文の局所理論を使わずに）発見し、1950年のICM論文として発表し、1952年にデュドンネ (Dieudonné) 宛に手紙を書いた。このため、この理論を岩澤・テイト理論 (Iwasawa–Tate theory) と呼ぶことが多い。彼のデュドンネへの手紙の中で、L-函数の有理型接続や函数等式を導いただけでなく、主な計算から直ちに導くことのできる副産物として類数の有限性やディリクレの単数定理も証明した。正標数に対する理論は、10年早くヴィット (Witt)、シュミット (Schmid)、タイヒミューラー (Teichmuller) により開発されていた。 岩澤・テイト理論は、類体論から来るいくつかの結果を使う。 (ja)
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